Решебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 1367

\[\boxed{\mathbf{1367.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Схематический\ рисунок.}\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Проведем\ в\ \mathrm{\Delta}ABC\ высоты.\]

\[Точку\ их\ пересечения\ обозначим\ буквой\ \text{H.}\]

\[2)\ Опишем\ вокруг\ него\ окружность\ с\ центром\ \text{O.}\]

\[3)\ Проведем\ медиану\ \text{BP}.\]

\[Отрезок\ \text{OH\ }пересекает\ медиану\ в\ точке\ \text{M.}\]

\[4)\ OP\bot AC - так\ как\ O - центр\ \]

\[описанной\ окружности,\ который\]

\[лежит\ на\ пересечении\ \]

\[серединных\ перпендикуляров;\]

\[AP = PC:\]

\[OP - серединный\ перпендикуляр.\]

\[BH\bot AC - по\ условию.\]

\[Отсюда:\]

\[OP \parallel BH.\]

\[Из\ параллельности\ прямых:\]

\[\angle O = \angle H - накрест\ лежащие;\]

\[\angle OMP = \angle BMH - вертикальные.\]

\[Значит:\]

\[\mathrm{\Delta}POM\sim\mathrm{\Delta}BHM - по\ двум\ углам.\]

\[5)\ Из\ подобия\ треугольников:\]

\[\frac{\text{BM}}{\text{MP}} = \frac{\text{BH}}{\text{OP}}.\]

\[BH = 2OP\ (по\ лемме\ о\ центре\]

\[описанной\ окружности);\]

\[\frac{\text{BH}}{\text{OP}} = 2.\]

\[Отсюда:\]

\[\frac{\text{BM}}{\text{MP}} = \frac{2}{1}.\]

\[6)\ Точка\ M,\ лежащая\ на\ \]

\[медиане,\ делит\ ее\ в\ отношении\]

\[2\ :1,\ считая\ от\ вершины:\]

\[M - точка\ пересечения\ медиан.\]

\[Следовательно,\ три\ точки\ \]

\[O;M;H - лежат\ на\ одной\ прямой.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]