Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 1307
Задание 1307
\[\boxed{\mathbf{1307.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[Дано:\]
\[куб\ \text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1};\]
\[AB = a.\]
\[Доказать:\]
\[существует\ сквозное\ отверстие\ \]
\[со\ стороной\ a.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Рассмотрим\ проекцию\ куба\ \]
\[на\ плоскасть,\ \]
\[перпендикулярную\ его\ \]
\[диагонали.\]
\[Получаем\ шестиугольник.\ \]
\[Обозначим\ его\ сторону\ AB = b.\]
\[2)\ По\ теореме\ косинусов\ \]
\[\left( из\ \mathrm{\Delta}ABA_{1} \right):\]
\[A_{1}B^{2} = \left( a\sqrt{2} \right)^{2} =\]
\[= b^{2} + b^{2} - 2b^{2}\cos 120^{0} = 3b^{2}\]
\[b^{2} = \frac{2}{3}a\]
\[b = \frac{\sqrt{6}}{3}\text{a.}\]
\[3)\ Радиус\ окружности,\ \]
\[вписанной\ в\ шистиугольник:\]
\[r = R \cdot cos30^{0} = \frac{\sqrt{6}}{3}a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =\]
\[= \frac{a\sqrt{2}}{2}.\]
\[Это - половина\ диагонали\ \]
\[грани\ куба.\ \ \]
\[Если\ разместить\ квадратное\ \]
\[отверстие\ со\ стороной\ a\ \]
\[параллельно\ стороне\ \]
\[шестиугольника\ проекции,\ как\ \]
\[показано\ на\ рисунке,то\ другой\ \]
\[такой\ же\ куб\ пройдет\ через\ это\ \]
\[отверстие.\]
\[Докажем,\ что\ OC > OB.\]
\[В\ \mathrm{\Delta}AOC:\]
\[OA = \frac{\sqrt{6}}{3}a;\ \]
\[\angle CAO = 90^{0};\]
\[\angle COA = 45^{0};\]
\[\ \angle ACO = 180^{0} - 135^{0} = 35^{0}.\]
\[\frac{\text{OA}}{\sin 35^{0}} = \frac{\text{OC}}{\sin 60^{0}}\]
\[OC = OA\frac{\sin 60^{0}}{\sin 35^{0}} =\]
\[= \frac{\sqrt{6}}{3}a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{\underset{= OB}{\overset{2}{︸}}} \cdot (\frac{1}{\underset{> 1}{\overset{\sin 35^{0}}{︸}}} > OB.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{1307.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Дано:\]
\[F - квадрат;\]
\[a - сторона;\]
\[F_{1}\sim F;\]
\[коэффициент\ подобия = \text{k.}\]
\[\textbf{а)}\ Доказать:\]
\[F_{1} - квадрат.\]
\[\textbf{б)}\ Найти:\]
\[S_{F_{1}}.\]
\[\textbf{а)}\ Многоугольник\ \ F_{1}\text{\ \ \ }\]
\[называется\ \ подобным\ \ \]
\[одноимённому\ \]
\[многоугольнику\ \ F,если\ \ углы\ \ \]
\[многоугольника\ \ F_{1}\text{\ \ \ }\]
\[соответственно\ равны\ \ углам\ \]
\[многоугольника\ \ F,а\ \ их\ \ \]
\[сходственные\ \ стороны\ \]
\[пропорциональны.\]
\[Раз\ фигуры\ подобны,\ то\ все\]
\[\ углы\ F_{1}\ равны\ 90{^\circ}.\]
\[Соответственные\ стороны\ \]
\[фигуры\ F_{1}\ равны:\]
\[ak - каждая.\]
\[Получаем:\]
\[все\ углы\ 90{^\circ};\]
\[все\ стороны\ равны;\]
\[поэтому\ F_{1} - квадрат.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ S_{F} = a^{2};\]
\[\frac{S_{F_{1}}}{S_{F}} = k^{2}\]
\[S_{F_{1}} = k^{2} \cdot S_{F} = k^{2}a^{2}.\]
\[Ответ:k^{2}a^{2}.\]
