Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 1295
Задание 1295
\[\boxed{\mathbf{1295.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \]
\[\mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1};\]
\[AC < BC;\]
\[A_{1}C_{1} < B_{1}C_{1};\]
\[AC = A_{1}C_{1};\]
\[BC = B_{1}C_{1};\]
\[\angle A - \angle B = \angle A_{1} - \angle B_{1}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC = \mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Разделим\ отрезок\ \text{AB}\ \]
\[пополам \Longrightarrow \ AD = DB.\]
\[Построим\ перпендикуляр\ \]
\[DE\bot AB;\ E \in BC.\]
\[DE - медиана\ и\ высота\ \mathrm{\Delta}ABE:\]
\[BE = AE;\ \ \angle BAE = \angle B;\ \]
\[\angle EAC = \angle A - \angle B.\]
\[2)\ Аналогичное\ построение\ во\ \]
\[втором\ треугольнике:\]
\[\angle EAC = \angle A - \angle B =\]
\[= \angle A_{1} - \angle B_{1} = \angle E_{1}A_{1}C_{1};\]
\[AE + EC = BC + B_{1}C_{1} =\]
\[= A_{1}E_{1} + E_{1}c_{1}.\]
3) \(Совместим\ отрезки\ AC\ и\ \)
\[A_{1}C_{1}\text{.\ }\]
\[При\ равном\ угле\ \angle EAC =\]
\[= \angle E_{1}A_{1}C_{1}\ сумма\ двух\ сторон\ \]
\[разобьется\ на\ равные\ отрезки:\ \]
\[AE = A_{1}E_{1};\ \]
\[EC = E_{1}C_{1}.\]
4) \(\mathrm{\Delta}AEC = \mathrm{\Delta}A_{1}E_{1}C_{1} - по\ трем\ \)
\[сторонам \Longrightarrow существует\ \]
\[наложение\ f:\]
\[\mathrm{\Delta}AEC\overset{f}{\rightarrow}\mathrm{\Delta}A_{1}E_{1}C_{1}.\]
\[\text{BC\ }и\ B_{1}C_{1}\ совпадут,\ как\ \]
\[продолжения\ сторон\ \text{EC\ }и\ E_{1}C_{1}.\]
5) \(При\ наложении\ \)
\[совместились\ все\ три\ \]
\[вершины:\]
\[\text{ABC}\overset{f}{\rightarrow}A_{1}B_{1}C_{1};\]
\[\mathrm{\Delta}ABC = \mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
