Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 1294
Задание 1294
\[\boxed{\mathbf{1294.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[Дано:\]
\[ABCD\ и\ A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} - трапеции;\ \]
\[AD||BC;\]
\[\ AD > BC;\]
\[A_{1}D_{1}||B_{1}C_{1}D_{1} > B_{1}C_{1};\]
\[AB = A_{1}B_{1}BC = B_{1}C_{1};\ \]
\[CD = C_{1}D_{1};\ \]
\[AD = A_{1}D_{1}.\]
\[Доказать:\]
\[ABCD = A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Проведем\ отрезки\ \]
\[\text{CE}\left| \left| AB,\ E \in AD,\ C_{1}E_{1} \right| \right|A_{1}B_{1},\ E_{1} \in A_{1}D_{1}.\]
\[2)\ По\ построению:\ \]
\[\text{ABCE\ }и\ A_{1}B_{1}C_{1}E_{1} -\]
\[параллелограммы.\]
\[AB = CE = A_{1}B_{1} = C_{1}E_{1};\ \ \]
\[BC = AE = B_{1}C_{1} = A_{1}E_{1}.\]
\[\mathrm{\Delta}ECD = \mathrm{\Delta}E_{1}C_{1}D_{1} - по\ третьему\ \]
\[признаку:\]
\[CE = C_{1}E_{1};\]
\[CD = C_{1}D_{1};\]
\[ED = AD - AE =\]
\[= A_{1}D_{1} - A_{1}E_{1} = E_{1}D_{1}.\]
\[Существует\ наложение\ f:\]
\[\mathrm{\Delta}ECD\overset{f}{\rightarrow}\mathrm{\Delta}E_{1}C_{1}D_{1}.\]
\[3)\ Совместим\ эти\ \]
\[треугольники.\ Для\ двух\ пар\ \]
\[вершин\ получим:\]
\[C\overset{f}{\rightarrow}C_{1};\ \ \]
\[D\overset{f}{\rightarrow}D_{1}.\]
\[Совместятся\ отрезки\ \text{AD\ }и\ \]
\[A_{1}D_{1},\ как\ продолжения\ \]
\[сторон\ \text{ED\ }и\ E_{1}D_{1}.\]
\[Совместятся\ точки:\ \]
\[A\overset{f}{\rightarrow}A_{1}.\]
\[4)\ Через\ точку\ A\ можно\ \]
\[провести\ только\ одну\ прямую,\ \]
\[параллельную\ \text{CE.}\]
\[Через\ точку\ C - только\ одну\ \]
\[прямую\ ,\ параллельную\text{\ AD.}\]
\[Точка\ пересечения:\ \]
\[B = AB \cap CB.\]
\[5)\ Аналогично\ во\ второй\ \]
\[трапеции.\ \]
\[Значит,\ совместятся\ \]
\[точки\ B\overset{f}{\rightarrow}B_{1}.\]
\[При\ наложении\ совместились\ \]
\[все\ четыре\ вершины:\]
\[\text{ABCD}\overset{f}{\rightarrow}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1};\]
\[ABCD = A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
