Решебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 1233

 

\[\boxed{\mathbf{1233.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} -\]

\[параллелепипед.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[сумма\ квадратов\ диагоналей\ \]

\[равна\]

\[сумме\ квадратов\ ребер.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[Докажем\ лемму:\ \]

\[сумма\ квадратов\ диагоналей\ \]

\[параллелограмма\ равна\ \ сумме\ \]

\[квадратов\ его\ сторон.\]

\[1)\ Рассмотрим\ \]

\[параллелограмм\ MNPQ:\]

\[\angle M = \alpha;\ \]

\[MN = PQ = a;\ \]

\[NP = MQ = b.\]

\[2)\ По\ теореме\ косинусов:\]

\[NQ^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \cdot cosa\]

\[MP^{2} =\]

\[= a^{2} + b^{2} - 2ab \cdot \cos\left( 180^{0} - a \right) =\]

\[= a^{2} + b^{2} + 2ab \cdot cosa.\]

\[NQ^{2} + MP^{2} = 2a^{2} + 2b^{2} =\]

\[= MN^{2} + NP^{2} + PQ^{2} + MQ^{2}.\]

\[Лемма\ доказана.\]

\[3)\ Для\ параллелограмма\ \]

\[AA_{1}\ C_{1}\ C:\]

\[AC_{1}^{2} + A_{1}C^{2} =\]

\[= AA_{1}^{2} + A_{1}C_{1}^{2} + CC_{1}^{2} + AC^{2}.\]

\[4)\ Для\ параллелограмма\ \]

\[BB_{1}\ D_{1}D:\]

\[BD_{1}^{2} + B_{1}D^{2} =\]

\[= BB_{1}^{2} + B_{1}D_{1}^{2} + DD_{1}^{2} + BD^{2}.\]

\[5)\ Для\ параллелограмма\ ABCD:\]

\[AC^{2}\ + BD^{2}\ =\]

\[= AB^{2}\ + BC^{2}\ + CD^{2}\ + AD^{2}\ \]

\[6)\ Для\ параллелограмма\ \]

\[A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}:\]

\[A_{1}C_{1}^{2} + B_{1}D_{1}^{2} =\]

\[= A_{1}B_{1}^{2} + B_{1}C_{1}^{2} + C_{1}D_{1}^{2} + A_{1}D_{1}^{2}.\]

\[7)\ Сумма\ квадратов\ всех\ \]

\[четырех\ диагоналей\ равна\ \]

\[сумме\ квадратов\ всех\ ребер:\]

\[AC_{1}^{2} + A_{1}C^{2} + BD_{1}^{2} + B_{1}D^{2} =\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]