Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 1042
Задание 1042
\[\boxed{\mathbf{1042.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC - равносторон;\]
\[AB = a;\]
\[BD\bot AC.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[скалярное\ произведение\ \]
\[векторов.\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}ABC - равносторонний:\ \]
\[\angle A = \angle B = \angle C =\]
\[= 60{^\circ}\ (по\ свойству).\]
\[2)\ BD\bot AC \Longrightarrow \angle ADB = 90{^\circ}.\]
\[\textbf{а)}\ \overrightarrow{\text{AB}} \bullet \overrightarrow{\text{AC}} = a \bullet a \bullet \cos{60{^\circ}} =\]
\[= a^{2} \bullet \frac{1}{2} = \frac{a^{2}}{2};\]
\[\textbf{б)}\ \overrightarrow{\text{AC}} \bullet \overrightarrow{\text{CB}} = a \bullet a \bullet \cos{120{^\circ}} =\]
\[= a^{2} \bullet \left( - \frac{1}{2} \right) = - \frac{a^{2}}{2};\]
\[\textbf{в)}\ \overrightarrow{\text{AC}} \bullet \overrightarrow{\text{BD}} =\]
\[= \left| \overrightarrow{\text{AC}} \right| \bullet \left| \overrightarrow{\text{BD}} \right| \bullet \cos{90{^\circ}} = 0;\]
\[\textbf{г)}\ \overrightarrow{\text{AC}} \bullet \overrightarrow{\text{AC}} = a \bullet a \bullet \cos{0{^\circ}} =\]
\[= a^{2} \bullet 1 = a^{2}.\]
\[\boxed{\mathbf{1042.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[Сформулируем\ обратное\ \]
\[утверждение:\]
\[если\ диагонали\ трапеции\ \]
\[равны\ (то\ есть\ BD = AC),\ то\ \]
\[трапеция\ равнобедренная.\]
\[Рисунок\ по\ условию\ обратной\ \]
\[задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\textbf{а)}\ ABCD - равнобедренная\ \]
\[трапеция;\]
\[\textbf{б)}\ BD = AC.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\textbf{а)}\ BD = AC;\]
\[\textbf{б)}\ ABCD - равнобедренная\ \]
\[трапеция.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[\textbf{а)}\ 1)\ Прямоугольная\ система\ \]
\[координат:\]
\[A( - a;0);D(a;0);B( - b;h);\]
\[C(b;h);\]
\[\left( OY - ось\ симметрии\ \text{ABCD} \right).\]
\[2)\ BD = \sqrt{(a + b)^{2} + (0 - h)^{2}} =\]
\[= \sqrt{(a + b)^{2} + h^{2}};\]
\[AC = \sqrt{(b + a)^{2} + (h - 0)^{2}} =\]
\[= \sqrt{(a + b)^{2} + h^{2}};\]
\[BD = AC.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ 1)\ Прямоугольная\ система\ \]
\[координат:\]
\[A( - a;0);D(a;0);B(b;h);\]
\[C(с;h).\]
\[2)\ AC = BD\ (по\ условию) \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow AC^{2} = BD^{2}:\]
\[AC = \sqrt{(c + a)^{2} + (h - 0)^{2}} =\]
\[= \sqrt{(c + a)^{2} + h^{2}}\]
\[AC^{2} = (c + a)^{2} + h^{2};\]
\[BD = \sqrt{(a - b)^{2} + (0 - h)^{2}} =\]
\[= \sqrt{(a - b)^{2} + h^{2}}\]
\[BD^{2} = (a - b)^{2} + h^{2}.\]
\[3)\ (c + a)^{2} + h^{2} = (a - b)^{2} + h^{2}\]
\[(c + a)^{2} = (a - b)^{2}\]
\[(c + a)^{2} - (a - b)^{2} = 0\]
\[(c + a - a + b)(c + a + a - b) =\]
\[= 0\]
\[(c + b)(2a + c - b) = 0\]
\[a > 0;b < c \Longrightarrow\]
\[2a + c - b > 0\]
\[c + b = 0 \Longrightarrow b = - c \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow B( - c;h).\]
\[4)\ AB =\]
\[= \sqrt{( - c + a)^{2} + (h - 0)^{2}} =\]
\[= \sqrt{(a - c)^{2} + h^{2}};\]
\[CD = \sqrt{(a - c)^{2} + (0 - h)^{2}} =\]
\[= \sqrt{(a - c)^{2} + h^{2}};\]
\[AB = CD \Longrightarrow ABCD -\]
\[равнобедренная\ трапеция.\ \]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
