Решебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Вопрос для повторения к главе IX

\[\boxed{\mathbf{Вопросы\ для\ повторения\ к\ главе\ }\mathbf{\text{IX}}\mathbf{.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\boxed{\mathbf{1.}}\]

\[Если\ R\ - \ радиус\ окружности\ \]

\[и\ d\ - \ расстояние\ от\ центра\ \]

\[окружности\ до\ прямой,\ \]

\[то\ возможно\ три\ варианта:\]

\[- \ если\ d\ > \ R,\ то\ у\ прямой\ и\ \]

\[окружности\ нет\ общих\ точек;\]

\[- \ если\ d\ = \ R,\ то\ у\ прямой\ и\ \]

\[окружности\ одна\ общая\ точка;\]

\[- \ если\ d\ < \ R,\ то\ прямая\ \]

\[пересекает\ окружность\ \]

\[в\ двух\ точках.\]

\[\boxed{\mathbf{2.}}\]

\[\mathbf{Из\ центра\ окружности\ }\]

\[\mathbf{провести\ отрезок\ }\left( \mathbf{= радиусу} \right)\]

\[\mathbf{к\ точке,}\mathbf{взятой\ на\ окружности}\mathbf{.}\]

\[\mathbf{Провести\ прямую,\ }\]

\[\mathbf{перпендикулярную\ радиусу -}\]

\[\mathbf{она\ и\ будет\ }\mathbf{касательной\ }\]

\[\mathbf{к\ окружности.}\]

\[\boxed{\mathbf{3.}}\]

\[\mathbf{Предположим,\ что\ две\ }\]

\[\mathbf{какие - то\ различные\ }\]

\[\mathbf{окружности\ имеют\ не\ }\mathbf{менее\ }\]

\[\mathbf{трёх\ общих\ точек.\ Если\ три\ из\ }\]

\[\mathbf{них\ лежат\ на\ одной\ прямой,\ то}\mathbf{\ }\]

\[\mathbf{серединные\ перпендикуляры\ }\]

\[\mathbf{к\ отрезкам\ с\ концами\ в\ этих\ }\]

\[\mathbf{точках\ }\mathbf{параллельны.}\mathbf{\ }\]

\[\mathbf{Значит,\ эти\ точки\ не\ могут\ }\]

\[\mathbf{принадлежать\ одной\ }\]

\[\mathbf{окружности.\ }\]

\[\mathbf{Если\ эти\ три\ точки\ не\ лежат\ }\]

\[\mathbf{на\ одной\ прямой,\ то\ }\]

\[\mathbf{окружности\ совпадут,\ }\mathbf{т.к.\ }\]

\[\mathbf{через\ три\ точки,\ не\ лежащие\ }\]

\[\mathbf{на\ одной\ прямой,\ проходит\ }\]

\[\mathbf{ровно\ одна\ окружность.\ }\]

\[\boxed{\mathbf{4.}}\]

\[Окружности\ \ с\ \ общим\ \ \]

\[центром\ \ и\ \ различными\ \ \]

\[радиусами\ \ называются\ \ \]

\[концентрическими.\ \ В\ \ этом\ \ \]

\[случае\ \ окружности\ \ не\ \ имеют\ \]

\[общих\ \ точек,\ все\ \ точки\ \ одной\ \ \]

\[из\ \ окружностей\ являются\ \ \]

\[внутренними\ \ точками\ \ \]

\[относительно\ другой.\]

\[Если\ центры\ O_{1}\ и\ O_{2}\ двух\ \]

\[окружностей\ с\ радиусом\ \text{R\ }и\ \]

\[\text{r\ }не\ совпадают;\]

\[O_{1}O_{2} = d:\]

\[1)\ при\ R - r < d < R + r;\ \]

\[\ R \geq r - окружности\ \]

\[пересекаются;\]

\[2)\ при\ d = R + r - окружности\ \]

\[касаются\ внешним\ образом;\]

\[3)\ при\ d = R - r;R > r -\]

\[окружности\ касаются\ \]

\[внутренним\ образом;\]

\[4)\ при\ d > R + r - окружности\ \]

\[не\ имеют\ общих\ точек;\]

\[окружность\ с\ центром\ O_{2}\ \]

\[расположена\ вне\ окружности\ \]

\[с\ центром\ O_{1};\]

\[5)\ при\ d < R - r;\ \ R > r -\]

\[окружности\ не\ имеют\ общих\ \]

\[точек;\]

\[окружность\ с\ центром\ O_{2}\ \]

\[равсположена\ внутри\ \]

\[окружности\ с\ центром\ O_{1}.\]

\[\boxed{\mathbf{5.}}\]

\[\mathbf{Если\ \ все\ \ точки\ \ одной\ \ }\]

\[\mathbf{окружности\ \ являются\ \ }\]

\[\mathbf{внутренними\ \ }\mathbf{относительно\ \ }\]

\[\mathbf{другой\ \ окружности,\ то\ такие\ \ }\]

\[\mathbf{окружности\ \ не\ \ имеют\ \ общих\ \ }\]

\[\mathbf{касательных}\mathbf{.}\]

\[\mathbf{В\ \ случае\ \ касания\ \ }\]

\[\mathbf{окружностей\ \ внутренним\ \ }\]

\[\mathbf{образом\ существует\ \ }\]

\[\mathbf{единственная\ \ общая\ \ }\]

\[\mathbf{касательная.\ \ }\]

\[\mathbf{Если\ \ две\ \ окружности\ \ }\]

\[\mathbf{пересекаются,\ то\ \ они\ \ имеют\ \ }\]

\[\mathbf{две\ \ общие\ }\mathbf{касательные}\mathbf{.}\]

\[\mathbf{Если\ \ окружности\ \ касаются\ \ }\]

\[\mathbf{внешним\ \ образом,\ они\ \ }\]

\[\mathbf{имеют\ \ три\ \ }\mathbf{общие\ \ }\]

\[\mathbf{касательные.}\mathbf{\ }\]

\[\mathbf{Если\ \ все\ \ точки\ \ каждой\ \ }\]

\[\mathbf{окружности\ \ являются\ }\]

\[\mathbf{внешними\ }\mathbf{относительно\ }\]

\[\mathbf{другой\ окружности,\ то\ эти\ \ }\]

\[\mathbf{окружности\ имеют\ четыре\ }\mathbf{\ }\]

\[\mathbf{общие\ касательные.}\]

\[\boxed{\mathbf{6.}}\]

\[\mathbf{Угол\ с\ вершиной\ в\ центре\ }\]

\[\mathbf{окружности\ называется\ }\]

\[\mathbf{центральным\ углом.}\]

\[\boxed{\mathbf{7.}}\]

\[Дуга\ \ называется\ \ \]

\[полуокружностью,\ если\ \]

\[отрезок,\ соединяющий\ \ её\ \ \]

\[концы,\ является\ \ диаметром\ \ \]

\[окружности.\ \ \]

\[Если\ угол\ не\ развернутый,\ то\ \]

\[говорят,\ что\ дуга,\ \]

\[расположенная\ внутри\]

\[этого\ угла,\ меньше\ \]

\[полуокружности\ \]

\[(меньше\ 180{^\circ}).\]

\[Про\ другую\ дугу\ говорят,\ что\ \]

\[она\ больше\ полуокружности\ \]

\[(больше\ 180{^\circ}).\]

\[\boxed{\mathbf{8.}}\]

\[\mathbf{Градусная\ мера\ дуги,\ как\ и\ }\]

\[\mathbf{сама\ дуга,\ обозначается\ }\]

\[\mathbf{символом \cup .}\]

\[\mathbf{Дугу\ окружности\ можно\ }\]

\[\mathbf{измерить\ в\ градусах.}\]

\[Если\ дуга\ окружности\ меньше\ \]

\[полуокружности\ или\ является\]

\[полуокружностью,\ то\ ее\ \]

\[градусная\ мера\ считается\ \]

\[равной\ градусной\ мере\ \]

\[центрального\ угла.\]

\[Если\ дуга\ больше\ \]

\[полуокружности,\ то\ ее\ \]

\[градусная\ мера\ считается\]

\[равной\ 360{^\circ} - центральный\ \]

\[угол.\]

\[Сумма\ градусных\ мер\ двух\ дуг\ \]

\[окружности\ с\ общими\ \]

\[концами\ равна\ 360{^\circ}.\]

\[\boxed{\mathbf{9.}}\]

\[Угол,\ вершина\ которого\ лежит\ \]

\[на\ окружности,\ а\ стороны\ \]

\[пересекают\ окружность,\ \]

\[называется\ вписанным\ углом.\]

\[Теорема:\]

\[выписанный\ угол\ измеряется\ \]

\[половиной\ дуги,\ на\ которую\ \]

\[он\ опирается.\]

\[Дано:\]

\[Окружность\ (O;R);\]

\[\angle ABC - вписанный;\]

\[AC - дуга.\]

\[Доказать:\]

\[\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC.\]

\[Доказательство.\]

\[Возможны\ три\ случая\ \]

\[расположения\ луча\ \text{BO\ }\]

\[относительно\ \angle ABC.\]

\[1)\ BO\ совпадает\ с\ одной\ из\ \]

\[сторон\ \angle ABC.\ Например,\ со\ \]

\[стороной\ \text{BC.}\]

\[\cup AC\ меньше\ полуокружности;\ \]

\[\ \angle ABC = \cup AC.\]

\[\angle AOC - внешний\ угол\ \]

\[равнобедренного\]

\[\ ⊿ABO\ (\angle 1 = \angle 2):\]

\[\angle AOC = \angle 1 + \angle 2 = 2\angle 1.\]

\[Отсюда:\]

\[2\angle 1 = \cup AC;\]

\[\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC.\]

\[2)\ BO\ делит\ \angle ABC\ на\ два\ угла;\]

\[\text{BO\ }пересекает\ дугу\ \text{AC\ }в\ точке\]

\[\ \text{D.}\]

\[Точка\ D\ делит\ дугу\ \text{AC\ }на\ \]

\[две\ дуги:\]

\[\cup \text{AD\ }и\ \cup \text{DC.}\]

\[Отсюда\ (см.\ пункт\ 1):\]

\[\angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD;\]

\[\angle DBC = \frac{1}{2} \cup DC.\]

\[Складываем\ равенства\ и\ \]

\[получаем:\]

\[\angle ABD + \angle DBC =\]

\[= \frac{1}{2} \cup AD + \frac{1}{2} \cup DC\]

\[\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC.\]

\[3)\ BO\ не\ делит\ угол\ ABC\ \]

\[пополам\ и\ не\ совпадает\ \]

\[со\ стороной\ этого\ угла.\]

\[Пусть\ луч\ пересекает\ дугу\ \text{AD\ }\]

\[в\ точке\ \text{C.}\]

\[Точка\ \text{C\ }делит\ дугу\ на\ две\ \]

\[части:\ \cup AC\ и\ \cup \text{DOC.}\]

\[Тогда:\]

\[\cup AD = \cup AC + \cup CD\]

\[\cup AC = \cup AD - \cup CD.\]

\[\text{BC\ }разделил\ угол\ \text{ABD\ }на\ два:\]

\[\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD\]

\[\angle ABC = \angle ABD - \angle CBD.\]

\[\angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD;\ \ \angle CBD =\]

\[= \frac{1}{2} \cup CD\ (см.\ пункт\ 1).\]

\[Вычтем\ из\ первого\ равенства\ \]

\[второе:\]

\[\angle ABD - CBD =\]

\[= \frac{1}{2} \cup AD - \frac{1}{2} \cup CD\]

\[\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC.\]

\[Теорема\ доказана.\]

\[\boxed{\mathbf{10.}}\]

\[Вписанные\ углы,\ \]

\[опирающиеся\ на\ одну\ и\ ту\ же\ \]

\[дугу,\ равны.\]

\[Дано:\]

\[окружность;\]

\[\angle BAC\ и\ \angle BDC - вписанные.\]

\[Доказать:\]

\[\angle BAC = \angle BDC.\]

\[Доказательство.\]

\[Оба\ вписанных\ угла\ \]

\[опираются\ на\ одну\ дугу:\text{BC.}\]

\[По\ теореме\ о\ вписанном\ угле:\]

\[\angle BAC = \frac{1}{2} \cup BC;\]

\[\angle BDC = \frac{1}{2} \cup BC.\]

\[Отсюда:\]

\[\angle\ BAC = \angle BDC.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{11.}}\]

\[Вписанный\ угол,\ \]

\[опирающийся\ на\ \]

\[полуокружность,\ прямой.\]

\[Дано:\]

\[окружность;\]

\[\angle BAC - вписанный;\]

\[BC - диаметр.\]

\[Доказать:\]

\[\angle BAC - прямой.\]

\[Доказательство.\]

\[BC - диаметр:\]

\[\angle BAC\ опирается\ на\ \]

\[полуокружность,\ равную\ 180{^\circ}:\]

\[\cup BC = 180{^\circ} -\]

\[полуокружность,\ на\ которую\ \]

\[опирается\ вписанный\ угол.\]

\[По\ теореме\ о\ вписанном\ угле:\]

\[\angle BAC = \frac{1}{2} \cup BC = \frac{1}{2} \cdot 180{^\circ} = 90{^\circ}.\]

\[Следовательно:\]

\[\angle BAC - прямой.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{12.}}\]

\[\mathbf{Угол\ \ между\ \ хордами\ \ }\]

\[\mathbf{окружности\ \ измеряется\ }\]

\[\mathbf{полусуммой\ \ двух\ \ дуг\ }\mathbf{\ этой\ \ }\]

\[\mathbf{окружности,\ заключённых\ \ }\]

\[\mathbf{между\ \ сторонами\ \ угла\ \ и\ \ их\ }\mathbf{\ }\]

\[\mathbf{продолжениями.}\]

\[\boxed{\mathbf{13.}}\]

\[\mathbf{Угол\ \ между\ \ секущими\ \ }\]

\[\mathbf{окружности,\ }\]

\[\mathbf{пересекающимися\ \ в\ \ точке,\ \ }\]

\[\mathbf{внешней\ \ относительно\ \ этой\ }\]

\[\mathbf{окружности,\ измеряется\ \ }\]

\[\mathbf{полуразностью\ \ двух\ дуг\ \ этой\ \ }\]

\[\mathbf{окружности,\ заключённых\ \ }\]

\[\mathbf{внутри\ \ угла.}\]

\[\boxed{\mathbf{14.}}\]

\[\mathbf{Угол\ \ между\ \ хордой\ \ и\ }\]

\[\mathbf{касательной\ \ к\ \ окружности\ }\]

\[\mathbf{измеряется\ \ половиной\ \ }\mathbf{дуги\ \ }\]

\[\mathbf{этой\ \ окружности,\ }\]

\[\mathbf{заключённой\ \ внутри\ \ угла.}\]

\[\boxed{\mathbf{15.}}\]

\[\mathbf{Угол\ \ между\ \ касательной\ \ к\ \ }\]

\[\mathbf{окружности\ \ и\ \ секущей,\ }\]

\[\mathbf{не\ \ проходящей\ \ }\mathbf{через\ \ точку\ \ }\]

\[\mathbf{касания,\ измеряется\ \ }\]

\[\mathbf{полуразностью\ \ дуг\ \ этой\ \ }\]

\[\mathbf{окружности,}\mathbf{\ }\mathbf{на\ которые\ \ }\]

\[\mathbf{точкой\ \ касания\ \ делится\ \ дуга,\ }\]

\[\mathbf{заключённая\ \ внутри\ }\mathbf{\ }\]

\[\mathbf{этого\ \ угла.}\]

\[\boxed{\mathbf{16.}}\]

\[\mathbf{Если\ все\ стороны\ }\]

\[\mathbf{многоугольника\ касаются\ }\]

\[\mathbf{окружности,\ то\ \ }\mathbf{окружность\ \ }\]

\[\mathbf{называется\ \ вписанной\ \ }\]

\[\mathbf{в\ \ многоугольник,\ }\mathbf{\ }\]

\[\mathbf{а\ \ многоугольник\ —\ }\]

\[\mathbf{описанным\ \ около\ \ этой\ \ }\]

\[\mathbf{окружности.\ }\]

\[\boxed{\mathbf{17.}}\]

\[\mathbf{В\ любом\ описанном\ }\]

\[\mathbf{четырехугольнике\ суммы\ }\]

\[\mathbf{противоположных}\]

\[\mathbf{сторон\ равны.}\]

\[\boxed{\mathbf{18.}}\]

\[\mathbf{Если\ \ все\ \ вершины\ \ }\]

\[\mathbf{многоугольника\ \ лежат\ \ на\ \ }\]

\[\mathbf{окружности,\ то\ \ }\mathbf{окружность\ \ }\]

\[\mathbf{называется\ \ описанной\ \ около\ \ }\]

\[\mathbf{многоугольника,\ }\mathbf{\ }\]

\[\mathbf{а\ \ многоугольник\ —\ }\]

\[\mathbf{вписанным\ \ в\ \ эту\ \ окружность.}\]

\[\boxed{\mathbf{19.}}\]

\[В\ любом\ вписанном\ \]

\[четырехугольнике\ сумма\ \]

\[противоположных\ углов\]

\[равна\ 180{^\circ}.\]