Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 413

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[ABCD - трапеция;\]

\[AE = CE;\ \]

\[BF = DF.\]

\[Доказать:\]

\[EF \parallel AD \parallel BC;\]

\[EF = \frac{1}{2}(AD - BC).\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Построим\ две\ точки:\]

\[AM = BM;\ \ \ \]

\[CN = DN.\]

\[2)\ ABCD - трапеция:\]

\[MN - средняя\ линия;\]

\[MN = \frac{1}{2}(AD + BC).\]

\[AE = CE;\ \ \ \]

\[BF = DF;\]

\[E \in MN;\ \ \ \]

\[F \in BD;\]

\[MN \parallel AD;\ \ \ \]

\[EF \parallel AD.\]

\[3)\ В\ \mathrm{\Delta}BAC:\]

\[ME - средняя\ линия;\]

\[ME = \frac{1}{2}\text{BC.}\]

\[4)\ В\ \mathrm{\Delta}BDC:\]

\[FN - средняя\ линия;\]

\[FN = \frac{1}{2}\text{BC.}\]

\[5)\ MN = ME + EF + FN;\]

\[\frac{1}{2}(AD + BC) = \frac{1}{2}BC + EF + \frac{1}{2}BC;\]

\[\frac{1}{2}AD + \frac{1}{2}BC = BC + EF;\]

\[EF = \frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AD - BC).\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]