Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 317

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[AD - биссектриса\ \angle A;\]

\[O - центр\ вписанной\ \]

\[окружности.\]

\[Доказать:\]

\[DO = DB = DC.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Для\ вписанной\ окружности:\]

\[\angle BAD = \angle CAD;\ \ \ \]

\[O - центр;\]

\[O \in AD;\ \ \ \]

\[\angle BCO = \angle ACO.\]

\[2)\ Для\ описанной\ окружности:\]

\[\angle DCB = \frac{1}{2} \cup BD = \angle DAB;\]

\[\angle DBC = \frac{1}{2} \cup CD = \angle DAC;\]

\[\angle DAB = \angle DAC = \frac{1}{2}\angle A;\]

\[\angle DCB = \angle DBC = \frac{1}{2}\angle A.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}BDC - \ равнобедренный:\]

\[BD = CD.\]

\[4)\ В\ \mathrm{\Delta}AOC:\]

\[\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180{^\circ}\]

\[\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle C + \angle AOC = 180{^\circ}\]

\[\angle AOC = 180{^\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle C).\]

\[5)\ \mathrm{\Delta}DOC - равнобедренный:\]

\[\angle DOC = 180{^\circ} - \angle AOC =\]

\[= \frac{1}{2}(\angle A + \angle C) = \angle DCB + \angle BCO =\]

\[= \frac{1}{2}(\angle A + \angle C);\]

\[\angle DOC = \angle DCO.\]

\[Отсюда:\]

\[DO = CD = BD.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]