Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 207

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[AM - биссектриса\ \angle BAD;\]

\[CK - биссектриса\ \angle BCE;\]

\[BM\bot AM;\]

\[BK\bot CK;\]

\[P_{\text{ABC}} = 18\ см.\]

\[Найти:\]

\[\text{MK.}\]

\[Решение.\]

\[1)\ Отметим\ точки\ \text{P\ }и\ N:\]

\[BM \cap AC = P;\ \ \ \]

\[BK \cap AC = N.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}BAP - равнобедренный:\]

\[AM - биссектриса\ и\ высота.\]

\[Отсюда:\]

\[PA = AB.\]

\[AM - медиана:\]

\[BM = PM.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}BCN - равнобедренный:\]

\[CK - биссектриса\ и\ высота.\]

\[Отсюда:\]

\[CN = BC.\]

\[CK - медиана:\]

\[BK = NK.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}BN:\]

\[BM = PM;\ \ \ \]

\[BK = NK.\]

\[MK - средняя\ линия:\]

\[MK = \frac{1}{2}PN =\]

\[= \frac{1}{2}(PA + AC + CN) =\]

\[= \frac{1}{2}(AB + AC + BC) = \frac{1}{2}P_{\text{ABC}};\]

\[MK = \frac{1}{2} \bullet 18 = 9\ см.\]

\[Ответ:\ \ 9\ см.\]