Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 182

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[ABCD - квадрат;\]

\[EF\bot MN.\]

\[Доказать:\]

\[EF = MN.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Проведем\ две\ прямые:\]

\[MT\bot AD;\]

\[EK\bot CD.\]

\[2)\ ABCD - квадрат:\]

\[AB \parallel CD,\ \ \ AD \parallel BC;\]

\[AB\bot AD,\ \ \ MT \parallel AB;\]

\[AD\bot CD,\ \ \ EK \parallel AD;\]

\[AB = AD.\]

\[3)\ ABMT - параллелограмм:\]

\[AB \parallel MT;\]

\[AT \parallel BM.\]

\[Отсюда:\]

\[MT = AB.\]

\[4)\ AEKD - параллелограмм:\]

\[AD \parallel EK;\]

\[AE \parallel KD.\]

\[Отсюда:\]

\[EK = AD.\]

\[5)\ BMOE - четырехугольник:\]

\[\angle B + \angle M + \angle O + \angle E = 360{^\circ}\]

\[90{^\circ} + \angle M + 90{^\circ} + \angle E = 360{^\circ}\]

\[\angle M + \angle E = 180{^\circ}\]

\[\angle TMN + 90{^\circ} + 90{^\circ} - \angle KEF = 180{^\circ}\]

\[\angle TMN = \angle KEF.\]

\[6)\ \mathrm{\Delta}MTN = \mathrm{\Delta}KEF - по\ катету\ \]

\[и\ углу:\]

\[MT = AB = AD = EK;\]

\[\angle MTN = \angle EKF = 90{^\circ};\]

\[\angle TMN = \angle KEF.\]

\[Отсюда:\]

\[MN = EF.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]