Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 180

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[ABCD - квадрат;\]

\[\mathrm{\Delta}AMK - равносторонний.\]

\[Доказать:\]

\[MK \parallel BD.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ ABCD - квадрат:\]

\[AB = BC = CD = AD;\]

\[\angle B = \angle D = \angle C = 90{^\circ};\]

\[MD - биссектриса\ \angle B;\]

\[\angle CBD = \frac{1}{2}\angle B = 45{^\circ}.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}ABM = \mathrm{\Delta}ADK - по\ \]

\[гипотенузе\ и\ катету:\]

\[\angle ABM = \angle ADK = 90{^\circ};\]

\[AM = AK.\]

\[Отсюда:\]

\[BM = KD.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}MCK - прямоугольный:\]

\[CM = BC - BM = CD - KD = CK.\]

\[\mathrm{\Delta}MCK - равнобедренный:\]

\[\angle CMK = \angle CKM = \frac{1}{2} \bullet 90{^\circ} = 45{^\circ}.\]

\[4)\ Для\ прямых\ BD\ и\ MK\ и\ \]

\[секущей\ BC:\]

\[\angle CBD = \angle CMK = 45{^\circ};\ \ \]

\[BD \parallel MK.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]