Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 179
Задание 179
\[Схематический\ рисунок.\]
\[Дано:\]
\[ABCD - прямоугольник;\]
\[AF - биссектриса\ \angle A;\]
\[CG - биссектриса\ \angle C;\]
\[BH - биссектриса\ \angle B;\]
\[DE - биссектриса\ \angle D.\]
\[Доказать:\]
\[MTKL - квадрат.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ ABCD - прямоугольник:\]
\[\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90{^\circ};\]
\[AB = CD;\ \]
\[BC \parallel AD.\]
\[2)\ В\ \mathrm{\Delta}AMB:\]
\[\angle MAB = \angle MBA = \frac{1}{2}\angle A = 45{^\circ};\]
\[\angle MAB + \angle MBA + \angle AMB = 180{^\circ}\]
\[45{^\circ} + 45{^\circ} + \angle AMB = 180{^\circ}\]
\[\angle AMB = 90{^\circ}.\]
\[3)\ В\ \mathrm{\Delta}CKD:\]
\[\angle KCD = \angle KDC = \frac{1}{2}\angle A = 45{^\circ};\]
\[\angle KCD + \angle KDC + \angle CKD = 180{^\circ}\]
\[45{^\circ} + 45{^\circ} + \angle CKD = 180{^\circ}\]
\[\angle CKD = 90{^\circ}.\]
\[4)\ \mathrm{\Delta}AMB = \mathrm{\Delta}CKD - по\ \]
\[гипотенузе\ и\ углу:\]
\[\angle AMB = \angle CKD = 90{^\circ};\]
\[\angle BAM = \angle DCK.\]
\[Отсюда:\]
\[BM = CK.\]
\[5)\ \mathrm{\Delta}BLC - равнобедренный:\]
\[\angle LBC = \angle LCB = \frac{1}{2}\angle A = 45{^\circ}.\]
\[\angle LBC + \angle LCB + \angle BLC = 180{^\circ}\]
\[45{^\circ} + 45{^\circ} + \angle BLC = 180{^\circ}\]
\[\angle BLC = 90{^\circ}\ \ \]
\[BL = CL.\]
\[6)\ MTKL - прямоугольник:\]
\[\angle M = \angle L = \angle K = 90{^\circ};\]
\[\angle M + \angle L + \angle K + \angle T = 360{^\circ}\]
\[90{^\circ} + 90{^\circ} + 90{^\circ} + \angle T = 360{^\circ}\]
\[\angle T = 360{^\circ} - 270{^\circ} = 90{^\circ}.\]
\[MTKL - квадрат:\]
\[ML = BL - BM = CL - CK = KL;\]
\[ML = KL = MT = KT.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
