Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 171

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[ABCD - квадрат;\]

\[MN \parallel PK \parallel AC;\]

\[MP \parallel NK \parallel BD.\]

\[Доказать:\]

\[MNKP - квадрат.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ ABCD - квадрат:\]

\[AC\bot BD;\]

\[AC = BD.\]

\[2)\ MBDP - параллелограмм:\]

\[MB \parallel PD;\ \ \]

\[MP \parallel BD.\]

\[Отсюда:\]

\[MP = BD.\]

\[3)\ MNCA - параллелограмм:\]

\[MN \parallel AC;\]

\[MA \parallel NC.\]

\[Отсюда:\]

\[MN = AC.\]

\[4)\ MNKP - параллелограмм:\]

\[MN \parallel PK;\]

\[MP \parallel NK.\]

\[Отсюда:\]

\[AC\bot BD;\ \ \ \]

\[MN\bot MP.\]

\[Значит:\]

\[MNKP - прямоугольник.\]

\[Так\ как\ MP = BD = AC = MN:\]

\[MNKP - квадрат.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]