\[\boxed{\mathbf{997.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - четырехугольник;\]
\[A(3;2);B(0;5);\]
\[C( - 3;2);D(0; - 1).\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[ABCD - квадрат.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ AB = \sqrt{(3 - 0)^{2} + (2 - 5)^{2}} =\]
\[= \sqrt{18} = 3\sqrt{2};\]
\[BC = \sqrt{(0 + 3)^{2} + (5 - 2)^{2}} =\]
\[= \sqrt{18} = 3\sqrt{2};\]
\[CD = \sqrt{( - 3 - 0)^{2} + (2 + 1)^{2}} =\]
\[= \sqrt{18} = 3\sqrt{2};\]
\[AD = \sqrt{(3 - 0)^{2} + (2 + 1)^{2}} =\]
\[= \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.\]
\[2)\ AB = BC = CD = AD \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow ABCD - ромб.\]
\[3)\ AC = \sqrt{(3 + 3)^{2} + (2 - 2)^{2}} =\]
\[= \sqrt{36} = 6;\]
\[BD = \sqrt{(0 - 0)^{2} + (5 + 1)^{2}} =\]
\[= \sqrt{36} = 6;\]
\[AC = BD.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{997.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\mathbf{\ задачи:}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[\angle MBO = \angle OBC;\]
\[\angle MAO = \angle OAD;\]
\[BO \cap OA = O;\]
\[MN - средняя\ линия.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[O \in MN.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[Теорема:любая\ точка\ \]
\[биссектрисы\ неразвернутого\ \]
\[угла\ равноудалена\ от\ его\ \]
\[сторон.\ \]
\[1)\ Следовательно:\]
\[OF\bot BC;\ \ OE\bot AB;\ \ OH\bot AD.\]
\[2)\ ( \bullet )O \in BO - биссектрисе\ \]
\[угла\ ABC:\]
\[OF = EO.\]
\[3)\ ( \bullet )O \in AO - биссектрисе\ \]
\[угла\ BAD:\]
\[EO = OH.\]
\[4)\ Из\ пункта\ 2\ имеем:\ \ \]
\[OF = EO.\]
\[Из\ пункта\ 3\ имеем:\ \ EO = OH.\ \]
\[Так\ как\ средняя\ линия\ \]
\[равноудалена\ от\ оснований\ \]
\[трапеции:\ \]
\[OF = OH;\ \ \]
\[( \bullet )O \in MN.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]