Решебник по геометрии 7 класс Атанасян ФГОС Задание 909

Авторы:
Год:2020-2021-2022
Тип:учебник

Задание 909

Выбери издание
Геометрия 7 класс Атанасян ФГОС Просвещение
 
фгос Геометрия 7 класс Атанасян ФГОС, Бутузов Просвещение
Издание 1
Геометрия 7 класс Атанасян ФГОС Просвещение

\[\boxed{\mathbf{909.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[Дано:\ \]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AA_{1},BB_{1},CC_{1} - биссектрисы\ \]

\[внешних\ углов;\]

\[AA_{1} \cap BC = A_{1};\]

\[BB_{1} \cap AC = B_{1};\]

\[CC_{1} \cap AB = C_{1}.\]

\[Доказать:\]

\[A_{1},B_{1},C_{1} - лежат\ на\ одной\ \]

\[прямой.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Пусть\ BC = a;AC = b;\]

\[AB = c.\]

\[2)\ Единичные\ векторы\ на\ \]

\[сторонах\ \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}:\ \]

\[\overrightarrow{\text{CB}} = a\overrightarrow{i};\overrightarrow{\text{CA}} = b\overrightarrow{j};\ \overrightarrow{\text{BA}} = c\overrightarrow{k}.\]

\[3)\ По\ теореме\ о\ биссектрисе\ \]

\[внешнего\ угла\ (задача\ 619):\]

\[\frac{CA_{1}}{A_{1}B} = \frac{\text{AC}}{\text{AB}}\]

\[\frac{CA_{1}}{CA_{1} - BC} = \frac{\text{AC}}{\text{AB}}\]

\[1 - \frac{\text{BC}}{CA_{1}} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}\]

\[\frac{a}{CA_{1}} = 1 - \frac{c}{b} = \frac{b - c}{b}\]

\[CA_{1} = \frac{\text{ab}}{b - c}.\]

\[Отсюда:\ \]

\[\overrightarrow{CA_{1}} =\]

\[= \frac{\text{ab}}{b - c}\overrightarrow{i}\ \left( так\ как\ \overrightarrow{CA_{1}} \uparrow \uparrow \overrightarrow{\text{CB}} \right).\]

\[4)\ Аналогично:\ \]

\[CB_{1} = \frac{\text{ab}}{a - c} \Longrightarrow \overrightarrow{CB_{1}} =\]

\[= \frac{\text{ab}}{a - c}\overrightarrow{j}\ \left( так\ как\ \overrightarrow{CB_{1}} \uparrow \uparrow \overrightarrow{\text{CA}} \right).\]

\[BC_{1} = \frac{\text{ac}}{a - b} \Longrightarrow \ \overrightarrow{BC_{1}} =\]

\[= \frac{\text{ac}}{a - b}\overrightarrow{k}\ \left( так\ как\ \overrightarrow{BC_{1}} \uparrow \uparrow \overrightarrow{\text{BA}} \right);\]

\[\overrightarrow{CC_{1}} = \overrightarrow{BC_{1}} - \overrightarrow{\text{BC}} = \frac{\text{ac}}{a - b}\overrightarrow{k} + a\overrightarrow{i};\]

\[\overrightarrow{\text{CB}} + \overrightarrow{\text{BA}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{0} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \ a\overrightarrow{i} - b\overrightarrow{j} + c\overrightarrow{k} = 0.\]

\[4)\ \left\{ \begin{matrix} k\overrightarrow{CA_{1}} + l\overrightarrow{CB_{1}} + m\overrightarrow{CC_{1}} = \overrightarrow{0} \\ k + l + m = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ }\]

\[\frac{\text{lb}}{a - c}\left( - a\overrightarrow{i} + b\overrightarrow{j} + c\left( \overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} \right) \right) =\]

\[= \frac{\text{ac}}{a - b}\left( a\overrightarrow{i} + c\overrightarrow{k} - b\left( \overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} \right) \right)\]

\[\frac{\text{lbc}}{a - c}\left( \overrightarrow{k} - \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} \right) =\]

\[= \frac{\text{abc}}{a - b}\left( \overrightarrow{j} - \left( \overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} \right) \right)\]

\[\frac{l}{a - c} = - \frac{a}{a - b}\]

\[\left\{ \begin{matrix} l = - \frac{a(a - c)}{a - b}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ l = - l - 1 = \frac{a(a - c)}{a - b} - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[10)\ Таким\ образом:\ \]

\[k\overrightarrow{CA_{1}} + l\overrightarrow{CB_{1}} + m\overrightarrow{CC_{1}} = \overrightarrow{0}.\]

\[Значит:\]

\[точки\ A_{1},B_{1}\ и\ C_{1}\ лежат\ на\ \]

\[одной\ прямой\ (задача\ 907).\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

Издание 2
фгос Геометрия 7 класс Атанасян ФГОС, Бутузов Просвещение

\[\boxed{\mathbf{909.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[H - точка\ пересечения\ высот;\]

\[A^{'},B^{'},C^{'} - симметричны\ A,B\ и\ \]

\[\text{C.}\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[A^{'},B^{'},C^{'} \in описанной\ \]

\[окружности.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Докажем,\ что\ точка\ A^{'}\]

\[лежит\ на\ окружности,\]

\[описанной\ около\ \mathrm{\Delta}ABC.\]

\[Если\ \mathrm{\Delta}ABC -\]

\[остроугольный\ (\angle B < 90{^\circ}):\]

\[\angle CBA^{'} = \angle CBH = 90{^\circ} - \angle C;\]

\[\angle ABA^{'} = 90{^\circ} - \angle C + \angle B.\]

\[2)\ Аналогично:\ \]

\[\angle ACA^{'} = 90{^\circ} - \angle B + \angle C.\]

\[3)\ Таким\ образом,\ \]

\[в\ четырехугольнике\ \text{AB}A^{'}C:\]

\[\angle B + \angle C = 180{^\circ}.\]

\[Следовательно:\ \]

\[вокруг\ него\ можно\ описать\ \]

\[окружность,\ но\ через\ точки\]

\[A,B\ и\ \text{C\ }может\ проходить\ \]

\[только\ одна\ окружность\ \]

\[описанная\ около\ \ \mathrm{\Delta}\text{ABC}.\]

\[4)\ Аналогично - \ для\ B^{'}и\ C^{'}.\]

\[5)\ Если\ \mathrm{\Delta}ABC -\]

\[прямоугольный\ (\angle B = 90{^\circ}):\]

\[точка\ пересечения\ высот\ \]

\[будет\ совпадать\ с\ точкой\ \]

\[B = H,\ \]

\[\Longrightarrow A^{'} = C^{'} = H = B.\]

\[6)\ ABCB^{'} - прямоугольник:\ \]

\[AB^{'} = BC;\]

\[CB^{'} = AB;\]

\[\angle B = 90{^\circ}.\]

\[7)\ Вокруг\ прямоугольника\ \]

\[можно\ описать\ окружность,\ \]

\[но\ через\ точки\ A,B\ и\ \text{C\ }может\ \]

\[проходить\ только\ одна\ \]

\[окружность\ \ описанная\ около\ \]

\[\mathrm{\Delta}\text{ABC}.\]

\[8)\ Если\ \mathrm{\Delta}ABC -\]

\[тупоугольный\ (\angle B > 90{^\circ}):\]

\[\angle AA^{'}B = 180{^\circ} - \angle HA^{'}B =\]

\[= 180{^\circ} - BHA^{'},\ но\]

\[\angle BHA^{'} = \angle BHA =\]

\[= 90{^\circ} - \angle CAH = \angle C.\]

\[10)\ Таким\ образом\ \]

\[в\ четырехугольнике\ AA'BC:\]

\[\angle A^{'} + \angle C = 180{^\circ}.\]

\[Следовательно:\ \]

\[вокруг\ негоможно\ описать\ \]

\[окружность,\ но\ через\ точки\]

\[A,B\ и\ \text{C\ }может\ проходить\ \]

\[только\ одна\ окружность,\ \]

\[описанная\ около\ \mathrm{\Delta}\text{ABC}.\]

\[5)\ Аналогично\ для\ B^{'}и\ C^{'}.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]

Скачать ответ
Есть ошибка? Сообщи нам!

Решебники по другим предметам