\[\boxed{\mathbf{802.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\mathbf{\ задачи:}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[BN = 2NC;\]
\[\overrightarrow{a} = \overrightarrow{\text{BA}};\ \]
\[\overrightarrow{b} = \overrightarrow{\text{BC}}.\]
\[\mathbf{Выразить:}\]
\[\overrightarrow{\text{AN}}\ через\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}.\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ \overrightarrow{\text{BN}} = 2\overrightarrow{\text{NC}}:\]
\[\overrightarrow{\text{BN}} = \frac{2}{3}\overrightarrow{\text{BC}} = \frac{2}{3}\overrightarrow{b}.\]
\[2)\ По\ правилу\ треугольника:\ \ \]
\[\overrightarrow{\text{AN}} = \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BN}} = - \overrightarrow{\text{BA}} + \overrightarrow{\text{BN}} =\]
\[= - \overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}.\]
\[\boxed{\mathbf{802.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[Доказательство.\]
\[\textbf{а)}\ По\ теореме\ об\ угле\ между\ \]
\[касательной\ и\ хордой:\]
\[\angle KDA = \angle DBA;\ \ \angle KCA = \angle CBA.\]
\[\angle CKD =\]
\[= 180{^\circ} - (\angle KCA + \angle KDA) =\]
\[= 180{^\circ} - (\angle DBA + \angle CBA).\]
\[Величины\ углов\ \angle DBA\ и\ \angle CBA\ \]
\[не\ зависят\ от\ положения\ \]
\[точек\ C\ и\ D\ соответственно,\]
\[\ так\ как\ каждый\ из\ этих\ углов\ \]
\[вписан\ в\ окружность\]
\[и\ опирается\ на\ дугу\ \text{AB\ }этой\ \]
\[окружности.\]
\[Следовательно,\ величина\ \]
\[\angle CKD\ не\ зависит\ от\ выбора\ \]
\[секущей.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ По\ теореме\ об\ угле\ между\ \]
\[касательной\ и\ хордой:\]
\[\angle KDA = \angle DBA;\ \ \angle KCA = \angle CBA.\]
\[Отсюда:\]
\[\angle CKD + \angle CBD =\]
\[= \angle CKD + \angle KCA + \angle KDA =\]
\[= 180{^\circ}.\]
\[Значит:\]
\[четырехугольник\ BCKD -\]
\[может\ быть\ вписан\ \]
\[в\ окружность.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]