\[\boxed{\mathbf{724.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[\mathbf{Решение\ задачи\ в\ учебнике.}\]
\[\boxed{\mathbf{724.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - параллелограмм;\]
\[BN = NC;\]
\[CM = MD;\]
\[N \in BC;\]
\[M \in CD;\]
\[AN \cap BD = O;\]
\[AM \cap BD = P.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[BO = OP = PD.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}ABC:\]
\[\text{AN\ }и\ BQ - медианы \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow BO\ :OQ = 2\ :1\ \]
\[(по\ свойству\ медиан).\]
\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}ACD:\]
\[\text{AM\ }и\ DQ - медианы \Longrightarrow\]
\[\ DP\ :PQ = 2\ :1\ \]
\[(по\ свойству\ медиан).\]
\[3)\ ABCD - параллелограмм:\ \]
\[4)\ BO + OQ = QP + PD.\]
\[5)\ BO\ :OQ = 2\ :1:\]
\[\ BO = \frac{2}{3}BQ;\]
\[BQ = QD = \frac{1}{2}\text{BD.}\]
\[Следовательно:\ \]
\[BO = \frac{\text{BD}}{3}.\]
\[6)\ DP\ :PQ = 2\ :1:\]
\[DP = \frac{2}{3}PQ;\]
\[\ BQ = QD = \frac{1}{2}\text{BD.}\]
\[Следовательно:\ \]
\[DP = \frac{\text{BD}}{3}.\]
\[7)\ OP = BD - BO - DP =\]
\[= BD - \frac{\text{BD}}{3} - \frac{\text{BD}}{3} = \frac{\text{BD}}{3};\]
\[BO = OP = PD.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]