\[\boxed{\mathbf{184.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Дано:\ \ \]
\[\mathrm{\Delta}\text{ABC}.\]
\[Построить:\]
\[D \in \text{BC};\ чтобы\ \text{AD} = \text{DC}.\]
\[\mathbf{Построение.}\]
\[1)\ Начертим\ две\ окружности\ с\ \]
\[центрами\ в\ точках\ \text{A\ }и\ C;\ \]
\[r = \frac{1}{2}\text{AC.}\]
\[2)\ Точками\ пересечения\ будут\]
\[\ \text{E\ }и\ \text{N.}\]
\[3)\ Прямые\ \text{EN\ }и\ \text{BC\ }\]
\[пересекутся\ в\ точке\ \text{D\ }\]
\[(искомая\ точка).\]
\[Доказательство.\]
\[Треугольник\ ADC -\]
\[равнобедренный,\ так\ как:\]
\[DO - серединный\ \]
\[перпендикуляр.\]
\[Следовательно:\]
\[AD = AC.\]
\[4)\ Задача\ не\ имеет\ решения,\ \]
\[если\ \text{EN\ }и\ \text{BC\ }не\ пересекаются\]
\[\boxed{\mathbf{184.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\(Рисунок\ по\ условию\ задачи:\)
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный;\]
\[AB = AC;\ \ P \in AB;\]
\[Q \in AC;X \in BC;\]
\[BX = XC;\ \]
\[\angle PXB = \angle QXC.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[BQ = CP.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный\ \]
\[(по\ условию):\]
\[\angle C = \angle B\ (CB - основание).\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}QXC = \mathrm{\Delta}PXB - по\ стороне\ \]
\[и\ двум\ прилегающим\ углам:\]
\[CX = XB\ (по\ условию);\]
\[\angle B = \angle C\ (см.\ пункт\ 1);\]
\[\angle PXB = \angle QXC\ (по\ условию).\]
\[Значит:\ \]
\[CQ = BP;\ \ QX = XP.\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}CQB = \mathrm{\Delta}BPC - по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[CQ = BP\ (см.\ пункт\ 2);\]
\[CB - общая\ сторона;\]
\[\angle C = \angle B\ (см.\ пункт\ 1).\]
\[Следовательно:\ \ BQ = CP.\ \]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]