\[\boxed{\mathbf{1405.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[A_{1}A_{2}\ldots A_{n} - правильный\ \]
\[n - угольник;\]
\[MH - перпендикуляры;\]
\[r - радиус\ вписанной\ \]
\[окружности.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[MH_{1} + \ldots + MH_{n} = nr.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Площадь\ правильного\ \]
\[n - угольника:\]
\[S_{n} = \frac{1}{2}Pr = \frac{1}{2}\text{nar.}\]
\[2)\ С\ другой\ стороны:\]
\[S_{n} = S_{A1A2M} + S_{A_{2A_{3M}}} + \ldots + S_{AnA1M} =\]
\[= \frac{1}{2}a\left( MH_{1} + MH_{2} + \ldots + MH_{n} \right).\]
\[3)\ Получаем:\]
\[\Longrightarrow MH_{1} + MH_{2} + \ldots + MH_{n} =\]
\[= nr.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]