\[\boxed{\mathbf{1375.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[A_{1},B_{1},C_{1} - середины;\]
\[H - точка\ пересечения\ высот;\]
\[G - точка\ пересечения\ медиан.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[G \in OH;\]
\[\frac{\text{HG}}{\text{GO}} = 2.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ По\ правилу\ треугольника:\]
\[\ \overrightarrow{A_{1}O} + \overrightarrow{\text{OG}} = \overrightarrow{A_{1}G}\ и\ \overrightarrow{\text{AH}} + \overrightarrow{\text{HG}} =\]
\[= \overrightarrow{\text{AG}}.\]
\[2)\ По\ теореме\ пересечения\ \]
\[медиан\ треугольника:\]
\[\overrightarrow{\text{AG}} = - 2\overrightarrow{A_{1}G} \Longrightarrow \overrightarrow{\text{AH}} + \overrightarrow{\text{HG}} =\]
\[= - 2\overrightarrow{A_{1}O} - 2\overrightarrow{\text{OG}}.\]
\[3)\ Векторы\ \overrightarrow{\text{AH}}\ и\ \overrightarrow{A_{1}O}\ \]
\[коллинеарны:\]
\[существует\ такое\ число\ x,\ что\ \]
\[\overrightarrow{A_{1}O} = x\overrightarrow{\text{AH}}.\]
\[4)\ Отсюда:\ \]
\[\overrightarrow{\text{HG}} + 2\overrightarrow{\text{OG}} = - (2x + 1)\overrightarrow{\text{AH}}.\]
\[5)\ Аналогично:\ \ \]
\[\overrightarrow{\text{HG}} + 2\overrightarrow{\text{OG}} = - (2m + 1)\overrightarrow{\text{BH}};\ \]
\[где\ m - определяется\ \]
\[из\ равенства\ \overrightarrow{B_{1}O} = m\overrightarrow{\text{BH}}.\]
\[6)\ Векторы\ \overrightarrow{\text{AH}}\ и\ \overrightarrow{\text{BH}}\ \]
\[не\ коллинеарны:\]
\[\overrightarrow{\text{HG}} + 2\overrightarrow{\text{OG}} = \overrightarrow{0} \Longrightarrow \overrightarrow{\text{HG}} = - 2\overrightarrow{\text{OG}}.\]
\[7)\ Значит:\ \]
\[G \in OH\ и\ \ \frac{\text{HG}}{\text{GO}} = 2.\ \]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]