\[\boxed{\mathbf{1330.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Дано:\]
\[окружность\ (O;R);\]
\[MB - секущая;\]
\[A\ и\ B - точки\ пересечения\ \]
\[с\ окружностью.\]
\[Доказать:\]
\[MA \cdot MB = MO^{2} - R^{2}.\]
\[Доказательство.\]
\[Построим\ еще\ одну\ секущую\ \]
\[через\ точку\ M,\ проходящую\ \]
\[через\ центр\ O;\]
\[C;D - точки\ ее\ пересечения\ \]
\[с\ окружностью.\]
\[1)\ По\ теореме\ о\ двух\ секущих\ \]
\[из\ одной\ точки:\]
\[AM \cdot BM = CM \cdot DM.\ \ \ \ \ \ \ (1)\]
\[2)\ CM = OM - R;\]
\[DM = OM + R.\]
\[3)\ Подставим\ в\ равенство\ (1):\ \]
\[MA \cdot MB =\]
\[= (OM - R)(OM + R) =\]
\[= OM^{2} - R^{2}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]