\[\boxed{\mathbf{1315.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Дано:\]
\[\angle AOB\sim\angle A_{1}O_{1}B_{1}.\]
\[Доказать:\]
\[\angle AOB = \angle A_{1}O_{1}B_{1}.\]
\[Доказательство.\]
\[При\ гомотетии\ прямая,\]
\[\ не\ проходящая\ через\ центр\ \]
\[гомотетии,переходит\ \]
\[в\ параллельную\ ей\ прямую:\]
\[OA \parallel O_{1}A_{1};\]
\[OB \parallel O_{1}B_{1}\text{.\ }\]
\[OA \parallel O_{1}A_{1};\ \ OO_{1} - секущая:\]
\[\angle 1 = \angle 3 -\]
\[как\ соответственные.\]
\[OB \parallel O_{1}B_{1};\ \ \ OO_{1} - секущая:\]
\[\angle 2 = \angle 4 -\]
\[как\ соответственные.\]
\[Так\ как:\]
\[\angle AOB = \angle 1 + \angle 2;\]
\[\angle A_{1}O_{1}B_{1} = \angle 3 + \angle 4.\]
\[Получаем:\]
\[\angle AOB = \angle A_{1}O_{1}B_{1}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]