\[\boxed{\mathbf{1291.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[Дано:\]
\[движение\ g;\ \]
\[A\overset{g}{\rightarrow}B;\ \ B\overset{g}{\rightarrow}\text{A.}\]
\[Доказать:\]
\[g - центральная\ симметрия\ \]
\[или\ осевая\ симметрия.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Если\ g - центральная\ \]
\[симметрия\ с\ центром\ \]
\[симметрии:\ \]
\[O\ и\ A\overset{o}{\rightarrow}B \Longrightarrow AO = OB.\ \]
\[Соответственно:\]
\[OB = OA\ и\ \]
\[B\overset{o}{\rightarrow}A \Longrightarrow центральная\ симметрия\]
\[имеет\ указанное\ свойство.\]
\[2)\ Если\ g - осевая\ симметрия\ \]
\[с\ осью\ симметрии\ a\ и\ A\overset{a}{\rightarrow}A:\ \]
\[осевая\ симметрия\ также\ имеет\ \]
\[указанное\ свойство.\]
\[3)\ Пусть\ A\overset{g}{\rightarrow}B,\ B\overset{g}{\rightarrow}\text{A.\ }\]
\[Возьмем\ точку\ M\text{.\ }\]
\[Пусть\ при\ рассматриваемом\ \]
\[движении\ M\overset{g}{\rightarrow}\text{N.}\]
\[4)\ Расстояния\ должны\ \]
\[сохраняться:\]
\[5)\ Отметим\ точку\ пересечения\ \]
\[диагоналей\ O = AB \cap MN:\]
\[AO = OB;\ \ MO = ON.\]
\[Если\ AM \neq BM \Longrightarrow \ g -\]
\[центральная\ симметрия\ \]
\[относительно\ точки\ \text{O.}\]
\[Если\ AM = BM \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \ AMBN - ромб,\ MN\bot AB.\ \]
\[Можно\ по - прежнему\ \]
\[рассматривать\ g,как\ \]
\[центральную\ симметрию\ \]
\[относительно\ точки\ O.\]
\[Если\ M = N = O\ и\ AM = BM \Longrightarrow \ \]
\[\Longrightarrow g\ может\ быть\ как\ \]
\[центральной,так\ и\ осевой\ \]
\[симметрией.\]
\[Других\ возможностей\ нет.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]