\[\boxed{\mathbf{1269.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[MNPQ - квадрат;\]
\[A \in NP;\]
\[B \in PQ;\]
\[NA = \frac{1}{2}MN;\]
\[QB = \frac{1}{3}\text{MN.}\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\angle AMB = 45{^\circ}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Пусть\ MN = a:\]
\[\ NA = \frac{1}{2}a;\ \ \ QB = \frac{1}{3}\text{a.}\]
\[В\ \mathrm{\Delta}MNA\ по\ теореме\ Пифагора:\]
\[AM^{2} = MA^{2} + NA^{2} =\]
\[= a^{2} + \left( \frac{a}{2} \right)^{2} = \frac{5a^{2}}{4}.\]
\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}APB:\]
\[AB^{2} = AP + PB^{2} =\]
\[= \left( \frac{a}{2} \right)^{2} + \left( \frac{2}{3}a \right)^{2} = \frac{a^{2} + 16a^{2}}{36} =\]
\[= \frac{25a^{2}}{36}.\]
\[3)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}MBQ:\]
\[MB^{2} = MQ^{2} + BQ^{2} =\]
\[= a^{2} + \left( \frac{a}{3} \right)^{2} = \frac{10a^{2}}{9};\]
\[AM = \frac{a\sqrt{5}}{2};\]
\[AB = \frac{5a}{6};\ \ \]
\[MB = \frac{a\sqrt{10}}{3}.\]
\[4)\ Пусть\ \angle AMB = a:\]
\[cosa = \frac{AM^{2} + MB^{2} - AB^{2}}{2 \cdot AM \cdot MB} =\]
\[= \frac{\frac{5a^{2}}{4} + \frac{10a^{2}}{9} - \frac{25a^{2}}{36}}{2 \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{10}}{3}} =\]
\[= \frac{\frac{(45 + 40 - 25)}{36}}{\frac{5\sqrt{2}}{3}} =\]
\[= \frac{60}{36} \cdot \frac{3}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]
\[Отсюда:\ \]
\[\angle AMB = 45{^\circ}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]