Решебник по геометрии 7 класс Атанасян ФГОС Задание 1268

Авторы:
Год:2020-2021-2022
Тип:учебник

Задание 1268

Выбери издание
Геометрия 7 класс Атанасян ФГОС Просвещение
 
Издание 1
Геометрия 7 класс Атанасян ФГОС Просвещение

\[\boxed{\mathbf{1268.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]

\[\textbf{а)}\ Дано:\]

\[точки\ A\ и\ B;\]

\[\ k > 0,\ k \neq 1;\]

\[\ AM = kBM.\]

\[Доказать:\ \]

\[\left\{ M \right\} - окружность.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Пусть\ AB = a.\ \]

\[Выберем\ СК\ так,\ что\ A(0;0),\ \]

\[B(a;0),\ M(x;y).\]

\[2)\ Квадраты\ расстояний:\]

\[AM^{2} = x^{2} + y^{2};\ \ \]

\[BM^{2} = (x - a)^{2} + y^{2};\]

\[AM^{2} = k^{2} \cdot BM^{2}\text{.\ \ }\]

\[x^{2} + y^{2} = k^{2}\left( (x - a)^{2} + y^{2} \right)\]

\[x^{2} - k^{2}(x - a)^{2} + \left( 1 - k^{2} \right)y^{2} =\]

\[= 0\]

\[x^{2} + 2\frac{k^{2}a}{1 - k^{2}}x + y^{2} = \frac{k^{2}a^{2}}{1 - k^{2}}\]

\[x^{2} + 2\frac{k^{2}a}{1 - k^{2}}x + \left( \frac{k^{2}a}{1 - k^{2}} \right)^{2} + y^{2} =\]

\[= \frac{k^{2}a^{2}}{1 - k^{2}} + \left( \frac{k^{2}a}{1 - k^{2}} \right)^{2}\]

\[\frac{k^{2}a^{2}}{1 - k^{2}} + \left( \frac{k^{2}a}{1 - k^{2}} \right)^{2} =\]

\[= \frac{k^{2}a^{2}}{1 - k^{2}}\left( 1 + \frac{k^{2}}{1 - k^{2}} \right) =\]

\[= \frac{k^{2}a^{2}}{\left( 1 - k^{2} \right)^{2}}\]

\[\left( x + \frac{k^{2}a}{1 - k^{2}} \right)^{2} + y^{2} = \frac{k^{2}a^{2}}{\left( 1 - k^{2} \right)^{2}}\]

\[Это\ окружность\ с\ центром\ \]

\[C\left( - \frac{k^{2}a}{1 - k^{2}};0 \right)и\ \ радиусом\ \]

\[R = \frac{\text{ka}}{1 - k^{2}}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{б)}\ Дано:\]

\[O(C,R) - окружность\ \]

\[Аполлония\ O_{1}(D,\ r);\ \]

\[A \in O_{1};\ \]

\[B \in O_{1}.\]

\[Доказать:\]

\[радиусы\ взаимно\ \]

\[перпедикулярны\ \]

\[в\ точке\ E = O_{a} \cap O_{1}.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ В\ выбранной\ СК\ центр\ \]

\[окружности\ Аполлония\ \]

\[расположен\ на\ оси\ абсцисс.\]

\[2)\ Найдем\ центр\ окружности\ \]

\[O_{1};\ \ DA = r;\ DA^{2} = DB^{2}:\]

\[x^{2} + y^{2} = (x - a)^{2} + y^{2}\]

\[x^{2} + y^{2} = x^{2} - 2ax + a^{2} + y^{2}\]

\[x = \frac{a^{2}}{2a} = \frac{a}{2} - прямая,\ \]

\[параллельная\ Oy;\]

\[x_{D} = \frac{a}{2}.\]

\[3)\ Центр\ окружности\ O_{1}\ \]

\[расположен\ на\ серединном\ \]

\[перпедикуляре\ к\ отрезку\ \text{AB.}\]

\[4)\ Уравнение\ окружности:\]

\[\left( x - \frac{a}{2} \right)^{2} + \left( y - y_{D} \right)^{2} =\]

\[= \left( \frac{a}{2} \right)^{2} + y_{D}^{2}.\]

\[5)\ Расстояние\ между\ центрами\ \]

\[окружностей:\]

\[CD^{2} = \left( \frac{a}{2} + \frac{k^{2}a}{1 - k^{2}} \right)^{2} + y_{D}^{2} =\]

\[= \left( \frac{a}{2} \right)^{2} + \frac{k^{2}a^{2}}{1 - k^{2}} + \left( \frac{k^{2}a}{1 - k^{2}} \right)^{2} + y_{D}^{2} =\]

\[= \left( \frac{a}{2} \right)^{2} + y_{D}^{2} + \frac{k^{2}a^{2}}{1 - k^{2}}\left( 1 - \frac{1}{1 - k^{2}} \right) =\]

\[= \left( \frac{a}{2} \right)^{2} + y_{D}^{2} + \frac{k^{2}a^{2}}{\left( 1 - k^{2} \right)^{2}}.\]

\[6)\ Квадраты\ расстояний\ до\ \]

\[точки\ пересечения\ \]

\[окружностей:\]

\[CE^{2} = R^{2} = \frac{k^{2}a^{2}}{\left( 1 - k^{2} \right)^{2}},\ \ \ \ \]

\[DE^{2} = r^{2} = \left( \frac{a}{2} \right)^{2} + y_{D}^{2}.\]

\[7)\ Сумма\ квадратов\ \]

\[расстояний:\]

\[CE^{2} + DE^{2} =\]

\[= \frac{k^{2}a^{2}}{\left( 1 - k^{2} \right)^{2}} + \left( \frac{a}{2} \right)^{2} + y_{D}^{2} = CD^{2}.\]

\[Значит:\]

\[\mathrm{\Delta}CED - прямоугольный\ \]

\[с\ \angle E = 90^{0}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

Скачать ответ
Есть ошибка? Сообщи нам!

Решебники по другим предметам