\[\boxed{\mathbf{1236.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\mathbf{\ задачи:}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} -\]
\[прямоугольный\ параллелепипед.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[AC_{1} - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ Пусть:\]
\[AB = DC = A_{1}B_{1} = D_{1}C_{1} = a;\]
\[AD = BC = A_{1}D_{1} = B_{1}C_{1} = b;\]
\[AA_{1} = BB_{1} = CC_{1} = c.\]
\[2)\ Соотношение\ сторон:\]
\[c\ :a\ :b = 3\ :7\ :8.\]
\[3)\ Заменим:\ \ c = 3x,\ a = 7x,\ \]
\[b = 8x.\]
\[4)\ Сумма\ площадей:\]
\[ac + ab + bc = 404\]
\[7 \cdot 3x + 7 \cdot 8x + 8x \cdot 3x = 404\]
\[101x^{2} = 404\]
\[x^{2} = 4\]
\[x = 2.\]
\[a = 7x = 14\ (дм).\]
\[b = 8x = 16\ (дм)\text{.\ }\]
\[c = 3x = 6\ (дм).\]
\[AC_{1} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} =\]
\[= \sqrt{14^{2} + 16^{2} + 6^{2}} =\]
\[= 2\sqrt{7^{2} + 8^{2} + 3^{2}} =\]
\[= 2\sqrt{122}\ (дм).\]
\(Ответ:\ AC_{1} = 2\sqrt{122}\ дм.\)