\[\boxed{\mathbf{1233.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} -\]
\[параллелепипед.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[сумма\ квадратов\ диагоналей\ \]
\[равна\]
\[сумме\ квадратов\ ребер.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[Докажем\ лемму:\ \]
\[сумма\ квадратов\ диагоналей\ \]
\[параллелограмма\ равна\ \ сумме\ \]
\[квадратов\ его\ сторон.\]
\[1)\ Рассмотрим\ \]
\[параллелограмм\ MNPQ:\]
\[\angle M = \alpha;\ \]
\[MN = PQ = a;\ \]
\[NP = MQ = b.\]
\[2)\ По\ теореме\ косинусов:\]
\[NQ^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \cdot cosa\]
\[MP^{2} =\]
\[= a^{2} + b^{2} - 2ab \cdot \cos\left( 180^{0} - a \right) =\]
\[= a^{2} + b^{2} + 2ab \cdot cosa.\]
\[NQ^{2} + MP^{2} = 2a^{2} + 2b^{2} =\]
\[= MN^{2} + NP^{2} + PQ^{2} + MQ^{2}.\]
\[Лемма\ доказана.\]
\[3)\ Для\ параллелограмма\ \]
\[AA_{1}\ C_{1}\ C:\]
\[AC_{1}^{2} + A_{1}C^{2} =\]
\[= AA_{1}^{2} + A_{1}C_{1}^{2} + CC_{1}^{2} + AC^{2}.\]
\[4)\ Для\ параллелограмма\ \]
\[BB_{1}\ D_{1}D:\]
\[BD_{1}^{2} + B_{1}D^{2} =\]
\[= BB_{1}^{2} + B_{1}D_{1}^{2} + DD_{1}^{2} + BD^{2}.\]
\[5)\ Для\ параллелограмма\ ABCD:\]
\[AC^{2}\ + BD^{2}\ =\]
\[= AB^{2}\ + BC^{2}\ + CD^{2}\ + AD^{2}\ \]
\[6)\ Для\ параллелограмма\ \]
\[A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}:\]
\[A_{1}C_{1}^{2} + B_{1}D_{1}^{2} =\]
\[= A_{1}B_{1}^{2} + B_{1}C_{1}^{2} + C_{1}D_{1}^{2} + A_{1}D_{1}^{2}.\]
\[7)\ Сумма\ квадратов\ всех\ \]
\[четырех\ диагоналей\ равна\ \]
\[сумме\ квадратов\ всех\ ребер:\]
\[AC_{1}^{2} + A_{1}C^{2} + BD_{1}^{2} + B_{1}D^{2} =\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]