\[\boxed{\mathbf{1219.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]
\[Доказать:\]
\[объем\ конуса\ равен\ одной\ \]
\[трети\ произведения\ \]
\[площади\ основания\ на\ высоту.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Воспользуемся\ принципом\ \]
\[Кавальери.\]
\[Рассмотрим\ конус\ и\ пирамиду\ \]
\[с\ площадями\ оснований\ S\ и\ \]
\[высотами\ PH = h\ и\ QO = h\ \]
\[соответственно,\ стоящие\ на\ \]
\[одной\ плоскости\ \alpha.\]
\[Докажем,\ что\ объем\ конуса\ \]
\[равен\frac{1}{3}\text{Sh.}\]
\[2)\ Проведем\ секущую\ \]
\[плоскость\ \beta,\ параллельную\ \]
\[плоскости\ \alpha\ и\ пересекающую\ \]
\[высоты\ \text{PH\ }и\ \text{PQ\ }в\ точках\ H_{1}\ и\ \]
\[O_{1}\ соответственно.\]
\[3)\ В\ сечении\ конуса\ \]
\[плоскостью\ \beta\ получится\ круг\ \]
\[радиуса\ H_{1}A_{1}.\]
\[Треугольники\ PH_{1}A_{1}\ и\ \text{PHA\ }\]
\[подобны\ по\ двум\ углам:\ \]
\[\angle P - общий;\]
\[\angle PH_{1}A_{1} = \angle PHA = 90{^\circ}).\]
\[Следовательно:\ \]
\[\frac{H_{1}A_{1}}{\text{HA}} = \frac{PH_{1}}{\text{PH}} \Longrightarrow H_{1}A_{1} =\]
\[= \frac{PH_{1}}{\text{PH}} \bullet HA\]
\[\ и\ площадь\ сечения\ конуса\ \]
\[равна:\]
\[\left( \pi H_{1}A_{1} \right)^{2} = \left( \frac{PH_{1}}{\text{PH}} \right)^{2} \bullet \pi HA^{2} =\]
\[= \left( \frac{PH_{1}}{\text{PH}} \right)^{2} \bullet S.\]
\[4)\ Площадь\ сечения\ \]
\[пирамиды:\ \]
\[\left( \frac{GO_{1}}{\text{GO}} \right)^{2} \bullet S.\]
\[5)\ Следовательно,\ площади\ \]
\[сечения\ пирамиды\ и\ конуса\ \]
\[равны,\ а\ объем\ равен\ \frac{1}{3}\text{Sh.}\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]