\[\boxed{\mathbf{1212.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[MABCD - правильная\ \]
\[пирамида;\]
\[AB = m;\]
\[\angle AMC = \alpha.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[V - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ V = \frac{1}{3}S_{осн} \bullet H;\ \]
\[MO = H - высота.\]
\[2)\ a_{4} = R\sqrt{2};\ \ a_{4} = AB = m;\ \ \]
\[R = AO - радиус\ описанной\ \]
\[окружности:\]
\[m = AO\sqrt{2} \Longrightarrow \ AO = \frac{m}{\sqrt{2}}.\]
\[3)\ Так\ как\ пирамида\ \]
\[правильная:\]
\[AM = MC = MB = MD;\]
\[\mathrm{\Delta}AMC - равнобедренный;\ \]
\[высота\ \text{MO\ }\]
\[(MO\bot ABCD \Longrightarrow MO\bot AC)\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow является\ биссектриссой.\ \]
\[Отсюда:\]
\[\angle AMO = \frac{\alpha}{2}.\]
\[4)\ В\ \mathrm{\Delta}AMO:\]
\[AO = \frac{m}{\sqrt{2}};\ \]
\[\angle AMO = \frac{\alpha}{2};\]
\[\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\text{AO}}{\text{MO}} \Longrightarrow \ MO = \frac{\text{AO}}{\text{tg}\frac{\alpha}{2}} =\]
\[= \frac{M}{\sqrt{2}\text{\ tg}\frac{\alpha}{2}}.\]
\[5)\ V = \frac{1}{3}m^{2} \bullet \frac{m}{\sqrt{2}\text{\ tg}\frac{\alpha}{2}} =\]
\[= \frac{m^{3}}{2\sqrt{3}\text{\ tg}\frac{\alpha}{2}} = \frac{m^{3}}{2\sqrt{3}}\text{\ ctg}\frac{\alpha}{2}.\]
\[\mathbf{Ответ}\mathbf{:\ }\frac{m^{3}}{2\sqrt{3}}\text{\ ctg}\frac{\alpha}{2}.\]