\[\boxed{\mathbf{1208.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[MABCDEF - правильная\ \]
\[пирамида;\]
\[AB = a;\]
\[AD - большая\ диагональ;\]
\[S_{\text{AMB}} = S_{\text{AMD}}.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[S_{бок} - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ Пусть\ MN = h - апофема\ \]
\[пирамиды:\]
\[S_{бок} = \frac{1}{2}P \bullet h;\ \]
\[P = 6 \bullet AB = 6a\ \]
\[(периметр\ основания).\]
\[2)\ S_{\text{AMB}} = \frac{1}{2}AB \bullet MN = \frac{1}{2}ah;\]
\[S_{\text{AMD}} = \frac{1}{2}AD \bullet MO.\]
\[AD = 2AB = 2a\ (в\ правильном\ \]
\[шестиугольнике\ a_{6} = R;где\]
\[R = AO - радиус\ описанной\ \]
\[окружности):\]
\[S_{\text{AMD}} = \frac{1}{2} \bullet 2a \bullet MO = a \bullet MO.\]
\[3)\ S_{\text{AMB}} = S_{\text{AMD}}\ или\ \frac{1}{2}ah =\]
\[= a \bullet MO\ (по\ условию):\]
\[h = 2 \bullet MO\ (при\ этом\ a \neq 0).\]
\[4)\ \mathrm{\Delta}AOB - правильный:\]
\[AB = AO = BO = a;\]
\[N - середина\ \text{AB.\ }\]
\[В\ треугольнике\ AON:\]
\[AO = a;\ \ \ AN = \frac{a}{2};\ \ \ \ \]
\[ON = \sqrt{AO^{2} - AN^{2}} =\]
\[= \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{3a^{2}}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.\]
\[5)\ \mathrm{\Delta}MON - прямоугольный:\]
\[MN^{2} = h^{2} = MO^{2} + ON^{2};\ \ \ \]
\[h^{2} = MO^{2} + \frac{3a^{2}}{4};\ но\ h = 2MO.\]
\[Получаем:\]
\[MO = \frac{h}{2}\]
\[\ h^{2} = \frac{h^{2}}{4} + \frac{3a^{2}}{4}\]
\[4h^{2} - h^{2} = 3a^{2}\]
\[3h^{2} = 3a^{2}\]
\[h^{2} = a^{2}\]
\[\ h = a.\]
\[6)\ S_{бок} = \frac{1}{2}6a \bullet a = 3a^{2}.\]
\[\mathbf{Ответ:}S_{бок} = 3a^{2}\mathbf{.}\]