\[\boxed{\mathbf{1197.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} -\]
\[прямоугольный\ \]
\[параллелепипед;\]
\[AC_{1} = 13\ см;\]
\[BD = 12\ см;\]
\[BC_{1} = 11\ см.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[V - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ Пусть\ AB = a;\ \ AD = b;\ \ \]
\[BB_{1} = c.\]
\[Так\ как\ все\ грани\ -\]
\[прямоугольники:\]
\[\mathrm{\Delta}BAD - прямоугольный.\]
\[2)\ По\ теореме\ Пифагора:\]
\[a^{2} + b^{2} = 12^{2} = 144.\]
\[3)\ A_{1}C = d = 13\ см -\]
\[диагональ\ параллелепипеда.\]
\[d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2};\ \ \]
\[где\ d = 13\ см;\ a^{2} + b^{2} = 144:\ \]
\[c^{2} = d^{2} - \left( a^{2} + b^{2} \right) =\]
\[= 169 - 144 = 25\]
\[c = 5\ см.\]
\[4)\ \mathrm{\Delta}\text{BC}C_{1} - прямоугольный:\]
\[BC^{2} + \left( CC_{1} \right)^{2} = \left( BC_{1} \right)^{2};\ \]
\[где\ BC = AD = b,\ CC_{1} = BB_{1} =\]
\[= c,\ BC_{1} = 11\ см.\]
\[Следовательно:\]
\[b^{2} + c^{2} = 11^{2}.\]
\[5)\ b^{2} = 121 - 25 =\]
\[= 96\ (c = 5\ см):\]
\[b = \sqrt{96} = \sqrt{16 \bullet 6} = 4\sqrt{6}\ см;\]
\[a^{2} = 144 - 96 = 48;\ \ \ \]
\[a = 4\sqrt{3}\ см.\]
\[6)\ V = abc = 4\sqrt{3} \bullet 4\sqrt{6} \bullet 5 =\]
\[= 80\sqrt{18} = 80\sqrt{2 \bullet 9} =\]
\[= 240\sqrt{2}\ см^{3}.\]
\[Ответ:240\sqrt{2}\ см^{3}.\]