\[\boxed{\mathbf{1164.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[Построить:\]
\[B_{1}\text{D.}\]
\[Построение.\]
\[1)\ Построим\ прямую,\ \]
\[проходящую\ через\ точку\ \text{B\ }и\ \]
\[параллельную\ \text{AC.}\]
\[2)\ Установим\ раствор\ циркуля\ \]
\[на\ длину\ вектора\ \text{CD\ }и\ \]
\[проведем\ дуги\ с\ центрами\ в\ \]
\[точках\ \text{B\ }и\ C,\ проходящие\ через\ \]
\[прямые,\ на\ которых\ они\ лежат.\]
\[3)\ Отметим\ точки\ \ B_{1}\ и\ \text{D\ }на\ \]
\[пересечении\ дуг\ и\ прямых,\ \]
\[соединим\ эти\ точки.\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный;\]
\[AB = BC.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\text{AB}B_{1}D - равнобедренная\ \]
\[трапеция.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ При\ параллельном\ переносе,\ \]
\[сохраняются\ длины\ отрезков:\]
\[BB_{1} = CD,\ BB_{1} \parallel CD\ и\ BC \parallel B_{1}\text{D.}\]
\[Следовательно:\]
\[BB_{1}CD - параллелограмм \Longrightarrow \ \]
\[\Longrightarrow B_{1}D = BC.\]
\[2)\ В\ четырехугольнике\ \text{AB}B_{1}D:\]
\[BB_{1} \parallel AD\ \]
\[\left( так\ как\ BB_{1} \parallel CD\ и\ C \in AD \right);\]
\[AB = B_{1}\text{D\ }\]
\[\left( так\ как\ B_{1}D = BC\ и\ AB = BC \right).\]
\[Следовательно:\ \ \]
\[\text{AB}B_{1}D - равнобедренная\ \]
\[трапеция.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]