\[\boxed{\mathbf{1143.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC - прямоугольный;\]
\[CH - высота;\]
\[\mathrm{\Delta}ACH\sim\mathrm{\Delta}CHB;\]
\[C_{1} - длина\ окружности,\]
\[вписанной\ в\ \mathrm{\Delta}ACH;\]
\[C_{2} - длина\ окружности,\]
\[вписанной\ в\ \mathrm{\Delta}\text{CHB.}\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\frac{C_{1}}{C_{2}} = k.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}ABC - прямоугольный:\]
\[CH - высота.\]
\[\ \mathrm{\Delta}AHC\sim\mathrm{\Delta}CHB:\]
\[\left( \frac{\text{AC}}{\text{BC}} \right)^{2} = \frac{S_{\text{AHC}}}{S_{\text{CHB}}} = k^{2},\ \]
\[где\ k - коэффициент\ подобия.\ \]
\[2)\ S_{\text{AHC}} = \frac{1}{2}P_{\text{AHC}} \bullet r_{1};\]
\[где\ r_{1} - радиус\ вписанной\ в\ \]
\[\mathrm{\Delta}\text{AHC}\ окружности.\]
\[3)\ S_{\text{BHC}} = \frac{1}{2}P_{\text{BHC}} \bullet r_{2};\]
\[где\ r_{2} - радиус\ вписанной\ в\ \]
\[\mathrm{\Delta}\text{BHC}\ окружности.\]
\[4)\ k^{2} = \frac{\frac{1}{2} \bullet P_{\text{AHC}} \bullet r_{1}}{\frac{1}{2} \bullet P_{\text{BHC}} \bullet r_{2}} = k \bullet \frac{r_{1}}{r_{2}} \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow k = \frac{r_{1}}{r_{2}}.\]
\[5)\ C_{1} = 2\pi r_{1}\ и\ \ C_{2} = 2\pi r_{2},\frac{r_{1}}{r_{2}} = k:\]
\[\frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{2\pi r_{1}}{2\pi r_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} = k.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{1143.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\(\mathbf{\ }\)
\[Дано:\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный;\]
\[4AM^{2} =\]
\[= AB^{2} + AC^{2} + 2AB \bullet AC \bullet \cos{\angle A};\]
\[\text{BN\ }и\ CK - медианы.\]
\[Доказать:\]
\[BN = CK.\]
\[Доказательство:\]
\[4BN^{2} = 4CK^{2}.\]
\[Значит:\ \]
\[CK = BN.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать\text{.\ }\]