\[\boxed{\mathbf{1072.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[MNPQ - ромб;\]
\[MF - биссектрисса;\]
\[\angle NMQ = 4\alpha;\]
\[FQ = a.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[S_{\text{MNPQ}} - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ \angle M = 4\alpha\]
\[\angle FMQ = \angle FMP = \alpha\]
\[\angle\text{QMP} =\]
\[= 2\alpha\ (по\ свойству\ ромба).\]
\[2)\ \angle MQP = 180{^\circ} - 4\alpha\ \]
\[(так\ как\ \mathrm{\Delta}MQP - равнобедренный).\]
\[3)\ По\ теореме\ синусов:\]
\[\frac{\text{FQ}}{\sin{\angle FMQ}} = \frac{\text{MF}}{\sin{\angle MQF}}\]
\[\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{\text{MF}}{\sin{4\alpha}}\]
\[MF = \frac{a \bullet \sin{4\alpha}}{\sin\alpha}.\]
\[4)\ По\ теореме\ синусов:\]
\[\frac{\text{MF}}{\sin{\angle MPQ}} = \frac{\text{FP}}{\sin{\angle PMF}}\]
\[\frac{\text{MF}}{\sin{2\alpha}} = \frac{\text{FP}}{\sin\alpha}\]
\[FP = \frac{MF \bullet \sin\alpha}{\sin{2\alpha}}\]
\[FP = \frac{a \bullet \sin{4\alpha}}{\sin\alpha} \bullet \sin\alpha \bullet \frac{1}{\sin{2\alpha}} =\]
\[= \frac{a \bullet \sin{4\alpha}}{\sin{2\alpha}} = 2a \bullet \cos{2\alpha}.\]
\[5)\ PQ = PF + FQ =\]
\[a + 2a \bullet \cos{2\alpha} = a\left( 1 + 2\cos{2\alpha} \right).\]
\[6)\ S_{\text{MNPQ}} = NP \bullet PQ \bullet \sin{\angle P} =\]
\[= PQ^{2} \bullet \sin{4\alpha};\]
\[S_{\text{MNPQ}} =\]
\[= a^{2}\left( 1 + 4\cos{2\alpha} + 4\cos^{2}{2\alpha} \right) \bullet \sin{4\alpha}.\]
\[Ответ:\ \]
\[a^{2}\left( 1 + 4\cos{2\alpha} + 4\cos^{2}{2\alpha} \right) \bullet \sin{4\alpha}.\]
\[\boxed{\mathbf{1072.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Решение\ задачи\ дано\ }\]
\[\mathbf{в\ учебнике.}\]