Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 861

\[\boxed{\mathbf{861.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \ \]

\[P,E \in AC;\ \ \]

\[M,K \in BC;\ \ \]

\[AP\ :PE\ :EC = CK\ :KM\ :MB;\]

\[AM \cap BP = O;\ \ \]

\[AK \cap BE = T.\]

\[Доказать:\ \ \]

\[O,T\ и\ C - дежат\ на\ одной\ \]

\[прямой.\]

\[Доказательство:\]

\[1)\ Пусть\ AP = x,\ PE = y,\ EC = z:\ \]

\[CK = kx;\ \]

\[KM = ky;\ \]

\[MB = kz.\]

\[2)\ Точки\ O,A\ и\ M - лежат\ на\ \]

\[одной\ прямой\ (по\ условию).\]

\[По\ теореме\ Менелая\ для\ \mathrm{\Delta}BPC:\ \ \]

\[\frac{\text{BO}}{\text{PO}} \bullet \frac{\text{PA}}{\text{CA}} \bullet \frac{\text{CM}}{\text{BM}} = 1.\]

\[3)\ Точки\ T,K\ и\ A - лежат\ на\ \]

\[одной\ прямой\ (по\ условию)\text{.\ }\]

\[По\ теореме\ Менелая\ для\ \mathrm{\Delta}EBC:\ \]

\[\frac{\text{ET}}{\text{BT}} \bullet \frac{\text{BK}}{\text{CK}} \bullet \frac{\text{CA}}{\text{EA}} = 1.\]

\[4)\ Таким\ образом\ \left( в\ \mathrm{\Delta}\text{BPE} \right):\ \ \]

\[\frac{\text{BO}}{\text{PO}} \bullet \frac{\text{PC}}{\text{EC}} \bullet \frac{\text{ET}}{\text{BT}} =\]

\[= \frac{BM \bullet CA}{CM \bullet PA} \bullet \frac{\text{PC}}{\text{EC}} \bullet \frac{CK \bullet EA}{BK \bullet CA} =\]

\[= \frac{BM \bullet (PE + EC) \bullet CK \bullet (AP + PE)}{(CK + KM) \bullet PA \bullet EC \bullet (BM + MK)} =\]

\[= \frac{kz \bullet (y + z) \bullet kx \bullet (x + y)}{(kx + ky) \bullet x \bullet z \bullet (kz + ky)} =\]

\[= \frac{\left( kyz + kz^{2} \right) \bullet \left( kx^{2} + kxy \right)}{\left( kx^{2} + kxy \right) \bullet \left( kz^{2} + kzy \right)} = 1.\]

\[Значит,\ точки\ O,C\ и\ \text{T\ }лежат\ на\ \]

\[одной\ прямой.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]