Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 86

\[\boxed{\mathbf{86.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[\text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} -\]

\[параллелепипед;\]

\[\alpha - сечение;\]

\[\alpha \parallel BD_{1};\]

\[AC \in \alpha.\]

\[Доказать:\]

\[⊿AKC - равнобедренный.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Так\ как\ \alpha\ проходит\ через\ \]

\[AC,\ то\ она\ проходит\ и\ через\ \]

\[точку\ O - точку\ пересечения\ \]

\[диагоналей\ \text{ABCD.}\]

\[2)\ AC \in \alpha\ и\ AC \cap BD_{1}O:\ \]

\[\alpha \cap BD_{1}\text{O.}\]

\[Пусть\ \alpha \cap BD_{1}O = m\ (O \in m),\ \]

\[так\ как\ \alpha \parallel BD_{1},\ то\ m \parallel BD_{1}.\]

\[Пусть\ m \cap DD_{1} =\]

\[= M\ \left( OM \parallel BD_{1} \right).\]

\[3)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}BDD_{1}:\]

\[OM \parallel BD_{1}\ и\ O - середина\ BD;\]

\[MO - средняя\ линия;\]

\[K - середина\ DD_{1}.\]

\[4)\ Точки\ \text{A\ }и\ K \in ADD_{1}:\ \]

\[AK = \alpha \cap ADD_{1}.\]

\[K;\ C \in CDD_{1}:\]

\[\ KC = \alpha \cap CDD_{1}.\]

\[5)\ Таким\ образом,\ сечение -\]

\[это\ треугольник\ \text{AKC.}\]

\[6)\ ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} -\]

\[параллелепипед:\]

\[\angle ADD_{1} = \angle CDD_{1} = 90{^\circ}.\]

\[7)\ \mathrm{\Delta}AMD = \ \mathrm{\Delta}CMD - по\ двум\ \]

\[катетам:\]

\[\angle ADM = \angle CDM = 90{^\circ};\]

\[AD = DC\ \]

\[(\ ABCD - ромб\ по\ условию);\]

\[MD - общая\ сторона.\]

\[Отсюда:\]

\[AK = KC;\]

\[\mathrm{\Delta}AKC - равнобедренный.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]