Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 857

\[\boxed{\mathbf{857.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[окружности\ (O;r);\left( O_{1};r_{1} \right);\]

\[\left( O_{2};r_{2} \right);\ \ \]

\[O \cap O_{1} = A_{1};\ \ O \cap O_{2} = A_{2};\]

\[KL - общая\ касательная\ к\ \]

\[окружностям\ O_{1}\ и\ O_{2};\ \ \]

\[E = KL \cap O_{1}O_{2}.\]

\[Доказать:\ \ \]

\[E \cap A_{1}A_{2}.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Точка\ касания\ \mathbf{окружностей\ }\]

\[\mathbf{лежит\ на\ прямой,\ }\]

\[\mathbf{соединяющей\ их\ центры:}\]

\[O_{1}A_{1} = r_{1};\ \ O_{2}A_{2} = r_{2};\ \ \]

\[OA_{1} = OA_{2} = r.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}\text{EK}O_{2}\sim\mathrm{\Delta}\text{LE}O_{1} - по\ первому\ \]

\[признаку:\]

\[\angle LEO_{1} - общий;\ \ \]

\[\angle O_{2}KE = \angle O_{1}LE = 90{^\circ}.\]

\[Отсюда:\]

\[\frac{EO_{1}}{EO_{2}} = \frac{LO_{1}}{KO_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}}.\]

\[3)\ Тогда\ по\ теореме\ Менелая\ в\ \]

\[\mathrm{\Delta}OO_{1}O_{2}:\]

\[\frac{OA_{1}}{O_{1}A_{1}} \bullet \frac{O_{1}E}{O_{2}E} \bullet \frac{O_{2}A_{2}}{OA_{2}} = \frac{r}{r_{1}} \bullet \frac{r_{1}}{r_{2}} \bullet \frac{r_{2}}{r} = 1.\]

\[Значит:\ \]

\[точки\ A_{1},A_{2}\ и\ E -\]

\[принадлежат\ одной\ прямой,\ \]

\[то\ есть\ E \in A_{1}A_{2}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]