Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 840

\[\boxed{\mathbf{840.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \ \ \]

\[M \in \mathrm{\Delta}ABC;\ \]

\[Доказать:\text{\ \ }\]

\[S_{\text{ABM}} = S_{\text{BCM}}\ только\ тогда,\ \]

\[когда\ M \in медиане\ \mathrm{\Delta}ABC.\]

\[Решение.\]

\[1)\ Отметим\ точку\ \text{D\ }на\ \]

\[пересечении\ \text{BM\ }и\ \text{AC.}\]

\[2)\ Пусть\ точка\ M \in медиане\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\ BD - медиана:\]

\[AD = DC\ \ и\ \ S_{\text{ABD}} = S_{\text{BDC}}.\]

\[3)\ Опустим\ перпендикуляр\ MH\ \]

\[на\ отрезок\ AC:\ \]

\[S_{\text{AMD}} = \frac{1}{2}AD \bullet MH = \frac{1}{2}DC \bullet MH =\]

\[= S_{\text{CMD}}.\]

\[4)\ S_{\text{AMB}} = S_{\text{ADB}} - S_{\text{AMD}} =\]

\[= S_{\text{BDC}} - S_{\text{CMD}} = S_{\text{BMC}}.\]

\[5)\ Обратно,\ пусть\ S_{\text{AMB}} = S_{\text{BMC}}:\ \]

\[S_{\text{AMB}} = \frac{1}{2} \bullet AB \bullet BM \bullet \sin{\angle ABD} =\]

\[= \frac{1}{2} \bullet CB \bullet BM \bullet \sin{\angle CBD};\]

\[AB \bullet \sin{\angle ABD} = CB \bullet \sin{\angle CBD}.\]

\[6)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}\text{ABD\ }и\ \mathrm{\Delta}CBD:\]

\[S_{\text{ABD}} = \frac{1}{2} \bullet BD \bullet AB \bullet \sin{\angle ABD} =\]

\[= \frac{1}{2} \bullet BD \bullet CB \bullet \sin{\angle CBD} = S_{\text{CBD}}.\]

\[Следовательно:\ \]

\[BD - медиана;\]

\[точка\ M \in медиане.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]