Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 828

\[\boxed{\mathbf{828.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[ABCD - вписанный\ \]

\[четырехугольник;\]

\[AC\bot BD.\]

\[Доказать:\]

\[AB^{2} + CD^{2} = d^{2}.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Проведем\ через\ точку\ M\ \]

\[пересечения\ биссектрис\ \]

\[прямую,\ параллельную\ AB,\ \]

\[отметим\ точки\ \text{E\ }и\ F\ на\ \]

\[пересечении\ данной\]

\[прямой\ и\ прямых\ \text{AD\ }и\ \text{BC.}\]

\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}\text{DEM\ }и\ \mathrm{\Delta}CFM:\]

\[\angle A + \angle C = 180{^\circ}\ \]

\[\left( так\ как\ \text{ABCD} - вписанный \right);\]

\[EF \parallel AB;\]

\[\angle A + \angle E = 180{^\circ}\ \]

\[(как\ односторонние).\]

\[Отсюда:\]

\[\angle E = \angle C;\]

\[\angle DME = \angle FMC\ \]

\[(как\ вертикальные\ углы);\]

\[\mathrm{\Delta}DEM\sim\ \mathrm{\Delta}\text{CFM.}\]

\[3)\ Точка\ M - точка\ \]

\[пересечения\ биссектрис:\]

\[она\ равноудалена\ от\ прямых\ \]

\[\text{AB\ }и\ AD,\ а\ также\ от\ прямых\ \ \]

\[\text{AB\ }и\ \text{BC.}\]

\[Следовательно,\ она\ \]

\[равноудалена\ от\ прямых\ AD\ и\ \]

\[\text{BC.}\]

\[Отсюда:\ \]

\[высоты\ \mathrm{\Delta}\text{DEM\ }и\ \mathrm{\Delta}CFM;\]

\[проведенные\ из\ вершины\ M\ \]

\[равны.\]

\[Значит:\ \]

\[\mathrm{\Delta}DEM = \mathrm{\Delta}CFM;\]

\[CF = ED.\]

\[4)\ \angle AME = \angle BAM\ \]

\[(как\ накрест\ лежащие).\]

\[в\ \mathrm{\Delta}AEM:\ \ \]

\[\angle A = \angle M;\]

\[AE = EM.\]

\[Аналогично:\ BF = FM.\]

\[5)\ Таким\ образом:\ \]

\[CD = DM + MC = FM + EM =\]

\[= BF + AE = BC + AD.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]