Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 815
815
\[\boxed{\mathbf{815.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]
\[Дано:\ \ \]
\[A_{1}A_{1}A_{3}A_{4} - тетраэдр;\ \ \]
\[H - точка\ пересечения\ высот\ \]
\[тетраэдра.\]
\[Доказать:\ \ \]
\[точки\ пересечения\ медиан\ \]
\[всех\ граней\ лежат\ на\ одной\]
\[сфере,\ центр\ которой\ \]
\[расположен\ на\ прямой\ Эйлера.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Точка\ Q - центр\ сферы\ \]
\[Эйлера;\ \ \overrightarrow{\text{HQ}} = \frac{2}{3}\ \overrightarrow{\text{HG}}.\]
\[Точка\ B_{1}\ делит\ отрезок\ \text{AH\ }в\ \]
\[отношении\ 2\ :1;\ \ \ \]
\[\overrightarrow{HB_{1}} = \frac{1}{3}\ \overrightarrow{HA_{1}}.\]
\[2)\ Точка\ M_{1} - центроида\ \]
\[\mathrm{\Delta}A_{2}A_{3}A_{4}:\]
\[\overrightarrow{\text{HM}} = \frac{1}{3}\left( \ \overrightarrow{HA_{2}} + \ \overrightarrow{HA_{3}} + \overrightarrow{HA_{4}} \right).\]
\[Согласно\ лемме\ 2:\ \ \ \]
\[\overrightarrow{\text{HG}} =\]
\[= \frac{1}{4} \bullet \left( \ \overrightarrow{HA_{1}} + \ \overrightarrow{HA_{2}} + \ \overrightarrow{HA_{3}} + \ \overrightarrow{HA_{4}} \right).\]
\[3)\ \ \overrightarrow{QM_{1}} = \ \overrightarrow{HM_{1}} - \ \overrightarrow{\text{HQ}} =\]
\[= \overrightarrow{HM_{1}} - \frac{2}{3}\ \overrightarrow{\text{HG}} =\]
\[= \frac{1}{6}\left( \ \overrightarrow{HA_{2}} + \ \overrightarrow{HA_{3}} + \ \overrightarrow{HA_{4}} - \ \overrightarrow{HA_{1}} \right).\]
\[Аналогично:\ \ \]
\[\overrightarrow{QB_{1}} =\]
\[= \frac{1}{6}\left( \ \overrightarrow{HA_{2}} + \ \overrightarrow{HA_{3}} + \ \overrightarrow{HA_{4}} - \ \overrightarrow{HA_{1}} \right);\]
\[\overrightarrow{QM_{2}};\ \ \ \overrightarrow{QB_{2}}.\]
\[4)\ В\ задаче\ 814\ доказано,\ что\ \]
\[все\ произведения\ пар\ векторов\ \]
\[HA_{i}\ равны\ между\ собой.\ \]
\[После\ раскрытия\ скобок\ \]
\[получим:\]
\[\ \overrightarrow{QM_{1}^{2}} = \ \overrightarrow{QM_{2}^{2}} = \ \overrightarrow{QM_{3}^{2}} = \ \]
\[= \overrightarrow{QM_{4}^{2}} = \ \overrightarrow{QB_{1}^{2}} = \ \overrightarrow{QB_{2}^{2}} = \overrightarrow{QB_{3}^{2}} =\]
\[= \overrightarrow{QB_{4}^{2}}.\]
\[Значит:\]
\[M_{i}\ и\ B_{i}\ принадлежат\ сфере\ с\ \]
\[центром\ в\ точке\ \text{Q.}\]
\[5)\ Так\ как\ \ \overrightarrow{QM_{1}} = \ \overrightarrow{QB_{1}}:\]
\[M_{1}\ и\ B_{1} - концы\ диаметра\ \]
\[сферы.\]
\[B_{1}\ и\ \text{H\ }принадлежат\ A_{1}H;\ \ \ \]
\[H_{1}\ и\ M_{1}\ принадлежат\ грани\ \]
\[A_{2}A_{3}A_{4}\bot A_{1}\text{H.}\]
\[Следовательно:\ \]
\[точки\ \ H_{1},H_{2},H_{3},H_{4}\ \]
\[принадледат\ сфере\ Эйлера.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[Глава\ 8.\ Некоторые\ сведения\ из\ планиметрии\]
\[Параграф\ 1.\ Углы\ и\ отрезки,\ связанные\ с\ окружностью\]
