Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 812
812
\[\boxed{\mathbf{812.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]
\[Дано:\ \ \]
\[ABCDM - правильная\ \]
\[четырехугольная\ пирамида;\]
\[ABCD - основание;\ \ \]
\[AB = a;\ \ \]
\[\angle AMB = \alpha;\ \ \]
\[прямая\ b \parallel AB\ проходит\ через\ \]
\[точку\ M;\]
\[пирамида\ вращается\ вокруг\ \text{b.}\]
\[Найти:\ \ \]
\[объем\ тела\ вращения\ V.\]
\[Решение.\]
\[1)\ Отметим\ на\ серединах\ \]
\[сторон\ \text{AD\ }и\ BC - квадрата\ \]
\[\text{ABCD\ }точки\ A_{2}\ и\ B_{2}.\]
\[Построим\ от\ них\ \]
\[перпендикуляры\ A_{2}A_{0}\ \ и\ \ B_{2}B_{0}\ \]
\[на\ прямую\ b;\]
\[опустим\ перпендикуляр\ \text{MH\ }на\ \]
\[ребро\ \text{AB.}\]
\[2)\ При\ повороте\ пирамиды\ \]
\[\text{MABCD\ }вокруг\ прямой\ \text{b\ }\]
\[отрезки\ A_{0}A,\ MH\ и\ B_{0}B,\ \]
\[которые\ перпендикулярны\ \]
\[прямой\ b,\ займут\ положения\ \]
\[A_{0}A_{1},MH_{1}\ и\ B_{0}B_{1}\ в\ плоскости\ \]
\[MA_{2}B_{2}.\]
\[Следовательно,\ тело\ \]
\[полученное\ вращением\ \]
\[пирамиды\ \text{MABCD\ }\]
\[совпадает\ с\ телом,\ полученным\ \]
\[вращением\ многоугольника\ \]
\[A_{1}A_{2}B_{1}B_{2}\text{M.}\]
\[3)\ Объем\ тела\ вращения\ \]
\[многоугольника\ A_{1}A_{2}B_{1}B_{2}\text{M\ }\]
\[равен\ разности\ объема\ \]
\[цилиндра,\ полученного\ \]
\[вращением\ прямоугольника\ \]
\[A_{1}B_{1}A_{0}B_{0}\ и\ объема\ конусов,\ \]
\[полученных\ при\ вращении\ \]
\[треугольников\ A_{2}A_{0}M\ и\ B_{2}B_{0}M.\]
\[4)\ В\ \mathrm{\Delta}AMH - прямоугольном:\ \ \]
\[MH = \frac{a}{2} \bullet ctg\frac{\alpha}{2}.\]
\[В\ \mathrm{\Delta}OMH - прямоугольном:\ \ \]
\[OM = \sqrt{MH^{2} - OH^{2}} =\]
\[= \sqrt{\frac{a^{2}}{4} \bullet ctg^{2}\frac{\alpha}{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a\sqrt{\cos\alpha}}{2\sin\frac{\alpha}{2}}.\]
\[5)\ MH = MH_{1},\ OM =\]
\[= A_{2}O_{0},\ A_{0}B_{0} = AB = a\ и\ A_{0}M =\]
\[= \frac{a}{2}:\]
\[V = V_{A_{1}B_{1}A_{0}B_{0}} - 2 \bullet V_{A_{2}A_{0}M} =\]
\[= \pi\left( MH_{1} \right)^{2}a - \frac{2}{3} \bullet \pi \bullet OM^{2} \bullet \frac{a}{2} =\]
\[= \frac{\pi a^{2}}{4} \bullet \frac{\text{ct}g^{2}\alpha}{2} \bullet a - \frac{1}{3}\pi \bullet \frac{a^{2} \bullet \cos\alpha}{4 \bullet \sin^{2}\frac{\alpha}{2}} \bullet a =\]
\[= \frac{\pi a^{3}}{12}\left( 3\ ctg^{2}\frac{\alpha}{2} - \frac{\cos\alpha}{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}} \right).\]
\[Ответ:\ \frac{\pi a^{3}}{12}\left( 3\ ctg^{2}\frac{\alpha}{2} - \frac{\cos\alpha}{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}} \right).\]
