Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 811

\[\boxed{\mathbf{811.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[шар\ (O;R);\]

\[описанный\ конус.\]

\[Доказать:\]

\[\frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{S_{кон}}{S_{шара}}.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Рассмотрим\ осевое\ сечение\ \]

\[конуса\ AMB.\]

\[Опустим\ высоту\ MH\bot AB:\]

\[MH = h - высота\ конуса;\]

\[AM = MB = l.\]

\[\mathrm{\Delta}AMB - равносторонний:\]

\[OH = R - радиус\ вписанной\ в\ \]

\[\mathrm{\Delta}AMB - окружности;\]

\[AH = HB = r - радиус\ \]

\[основания\ конуса.\]

\[2)\ \frac{S_{кон}}{S_{шара}} = \frac{\pi r^{2} + \pi rl}{4\pi R^{2}} = \frac{r(r + l)}{4R^{2}}.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}AMH\sim\mathrm{\Delta}MOK:\]

\[\frac{\text{AH}}{\text{AM}} = \frac{\text{OK}}{\text{OM}};\]

\[\frac{r}{l} = \frac{R}{h - R};\]

\[rh - rR = lR;\]

\[rh = (r + l)\text{R.}\]

\[4)\ \frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{\frac{1}{3}\pi r^{2} \bullet h}{\frac{4}{3} \bullet \pi \bullet R^{3}} = \frac{r^{2}h}{4R^{3}} =\]

\[= \frac{r(r + l)R}{4R^{3}} = \frac{r(r + l)}{4R^{2}} = \frac{S_{кон}}{S_{шара}}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]