Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 807

\[\boxed{\mathbf{807.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[\text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} - куб;\ \ \]

\[a = 1\ см;\ \ \]

\[DE = EC;\ \ \]

\[BF = FB_{1};\]

\[AD_{1}EF - тетраэдр.\]

\[Найти:\ \text{\ \ }\]

\[V_{AD_{1}\text{ED}}.\]

\[Решение:\]

\[1)\ Пусть\ противоположные\ \]

\[ребра\ тетраэдра\ AF = a\ и\ \]

\[D_{1}E = b:\]

\[расстояние\ между\ ними\ AD = c\ \]

\[2)\ Отметим\ точку\ F_{1}\ на\ ребре\ \]

\[куба\ CC_{1}\ так,\ чтобы\ CF_{1} = C_{1}F_{1};\]

\[отметим\ точку\ M = D_{1}E \cap DF_{1}:\]

\[DF_{1} \parallel AF;\ \]

\[\angle\text{DM}D_{1} = \varphi - угол\ между\ \]

\[скрещивающимися\ прямыми\ \]

\[\text{AF\ }и\ D_{1}\text{E.}\]

\[3)\ Найдем\ значения:\]

\[AB = DD_{1} = 1\ см;\]

\[FB = D_{1}E = \frac{1}{2}\ см.\]

\[Отсюда:\]

\[\mathrm{\Delta}ABF = \mathrm{\Delta}DD_{1}\text{E.}\]

\[Тогда:\]

\[a = b = \sqrt{AB^{2} + FB^{2}} =\]

\[= \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}}\ см;\ \ \ \ \]

\[c = AD = 1\ см.\]

\[\mathrm{\Delta}DD_{1}E = \mathrm{\Delta}DCF_{1}\ \]

\[(по\ двум\ катетам):\]

\[\angle\text{CD}F_{1} = \angle DD_{1}\text{E.}\]

\[Тогда:\]

\[= 90{^\circ} + \angle CDF_{1} - \angle DD_{1}E = 90{^\circ}\]

\[\sin\varphi = \sin{90{^\circ}} = 1.\]

\[4)\ Из\ доказанного\ в\ задаче\ 803:\ \ \]

\[V_{тетр} = \frac{abc \bullet \sin\varphi}{6} =\]

\[= \frac{\sqrt{\frac{5}{4}} \bullet \sqrt{\frac{5}{4}} \bullet 1 \bullet 1}{6} = \frac{5}{4 \bullet 6} = \frac{5}{24}\ см^{3}.\]

\[Ответ:\ \frac{5}{24}\ см^{3}.\]