Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 799

\[\boxed{\mathbf{799.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[шары\ \left( O_{1};\ r_{1} \right),\ \left( O_{2};r_{2} \right),\ \left( O_{3};r_{3} \right) -\]

\[попарно\ касаются\ друг\ друга.\]

\[Найти:\ \]

\[какому\ условию\ должны\ \]

\[удовлетворять\ радиусы,\ чтобы\ \]

\[к\ шарам\ можно\ было\ провести\ \]

\[общую\ касательную?\]

\[Решение:\]

\[1)\ Пусть\ прямая\ касается\ \]

\[шаров\ в\ точках\ A_{1},A_{2}\ и\ A_{3}\text{\ \ }и\ \ \]

\[r_{1} \geq r_{2} \geq r_{3}:\]

\[A_{1}A_{2} =\]

\[= \sqrt{\left( r_{1} + r_{2} \right)^{2} - \left( r_{1} - r_{3} \right)^{2}} =\]

\[= 2\sqrt{r_{1}r_{2}}.\]

\[2)\ Аналогично:\ \]

\[A_{1}A_{3} = 2\sqrt{r_{1}r_{3}}\text{\ \ }и\ \ A_{2}A_{3} = 2\sqrt{r_{2}r_{3}}.\]

\[3)\ r_{1} \geq r_{2} \geq r_{3}:\]

\[2\sqrt{r_{1}r_{2}} \geq 2\sqrt{r_{1}r_{3}}\ \geq 2\sqrt{r_{2}r_{3}};\]

\[A_{1}A_{2} \geq A_{1}A_{3} \geq A_{2}A_{3}.\]

\[4)\ Если\ A_{1}A_{3} + A_{2}A_{3} \geq A_{1}A_{2},\]

\[то\ точки\ A_{1},A_{2}\ и\ A_{3}\ лежат\ на\ \]

\[одной\ прямой\ \]

\[(по\ свойству\ сторон\ треугольника),\ \]

\[то\ есть\ все\ точки\ принадлежат\ \]

\[общей\ касательной:\]

\[2\sqrt{r_{1}r_{3}} + 2\sqrt{r_{2}r_{3}} = 2\sqrt{r_{1}r_{2}}\ = >\]

\[= > \left( \sqrt{r_{1}} + \sqrt{r_{2}} \right) \bullet \sqrt{r_{3}} = \sqrt{r_{1}r_{2}}\]

\[r_{3} = \frac{r_{1}r_{2}}{\left( \sqrt{r_{1}} + \sqrt{r_{2}} \right)^{2}},\ где\ r_{3} -\]

\[радиус\ меньшего\ из\ шаров.\]