Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 798

\[\boxed{\mathbf{798.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[ABCD - тетраэдр;\ \ \]

\[h_{1},h_{2},h_{3},h_{4} - высоты\ \]

\[тетраэдра;\]

\[вписанный\ шар\ (O,R).\text{\ \ }\]

\[Доказать:\ \]

\[\frac{1}{R} = \frac{1}{h_{1}} + \frac{1}{h_{2}} + \frac{1}{h_{3}} + \frac{1}{h_{4}}.\]

\[Доказательство:\]

\[1)\ Высоты\ делят\ тетраэдр\ на\ 4\ \]

\[пирамиды\ с\ вершинами\ в\ точке\ \]

\[O\ и\ высотами,\ равными\ \]

\[радиусу\ сферы\ R,\ основаниями\ \]

\[пирамид\ являются\ грани\ \]

\[тетраэдра\ \text{DABC}.\]

\[2)\ V_{тетр} = \frac{S_{i}h_{i}}{3},\ где\ i - номер\ \]

\[высоты;\ \]

\[S - грань,\ к\ которой\ она\ \]

\[опущена:\]

\[\frac{S_{i}}{3} = \frac{V_{тет}}{h_{i}}.\]

\[3)\ Объем\ тетраэдра:\ \ \]

\[V_{тетр} = \sum_{1}^{4}{\frac{1}{3}S_{i}R} = \sum_{1}^{4}{\frac{V}{h_{i}}R} =\]

\[= \text{VR}\sum_{1}^{4}\frac{1}{h_{i}}.\]

\[\frac{1}{R} = \sum_{1}^{4}\frac{1}{h_{i}} = \frac{1}{h_{1}} + \frac{1}{h_{2}} + \frac{1}{h_{3}} + \frac{1}{h_{4}}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]