Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 792

\[\boxed{\mathbf{792.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \]

\[ABCD - тетраэдр;\]

\[AA_{1},BB_{1},CC_{1},DD_{1} - высоты.\]

\[Доказать:\]

\[высоты\ пересекаются\ в\ одной\ \]

\[точке\ только\ тогда,\ когда\]

\[противоположные\ ребра\ \]

\[тетраэдра\ перпендикулярны.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Допустим,\ что\ высоты\ \]

\[тетраэдра\ пересекаются\ в\ \]

\[точке\ K;\]

\[\text{DC\ }пересекает\ плоскость\ \text{ABK\ }в\ \]

\[точке\ \text{L.}\]

\[2)\ AA_{1}\bot BCD\ и\ CD \in BCD:\]

\[AA_{1}\bot CD.\]

\[Аналогично:\ \ BB_{1}\bot CD.\]

\[AA_{1} \in ALB\ \ и\ \ BB_{1} \in ALB:\ \]

\[CD\bot ALB;\ \ \ \]

\[AB \in ALB:\]

\[CD\bot AB.\]

\[Аналогично:\ \ \ \]

\[BD\bot AC\ \ и\ \ DA\bot CB.\]

\[3)\ Обратно:\ \ \]

\[DC\bot AB,\ BD\bot AC\ и\ DA\bot CB;\]

\[AA_{1}\bot BCD\ \ и\ \ DC \in BCD.\]

\[Значит:\]

\[AA_{1}\bot DC;AB\bot DC;\]

\[\text{AB}A_{1}\bot CD.\ \ \]

\[4)\ Пусть\ BB_{2} - высота\ \]

\[треугольника\ ABL:\]

\[BB_{2}\bot DC,\ BB_{2}\bot AL,\ \]

\[DC \in ADC\ и\ AL \in ADC.\]

\[Значит:\]

\[BB_{2}\bot ACD;\]

\[BB_{2}\ совпадает\ с\ высотой\ BB_{1}.\]

\[Таким\ образом:\ \]

\[высоты\ AA_{1}\ и\ BB_{1}\ \]

\[пересекаются\ в\ одной\ точке.\ \]

\[Аналогично\ доказывается\ для\ \]

\[остальных\ высот:они\ \]

\[пересекаются\ в\ той\ же\ точке,\ \]

\[так\ как\ иначе\ они\ лежали\ бы\ в\ \]

\[одной\ плоскости.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]