Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 791

\[\boxed{\mathbf{791.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[AB,AD,AC\ и\ AE - лучи;\]

\[\angle BAC = 60{^\circ};\]

\[\angle BAD = 45{^\circ};\]

\[\angle DAC = 45{^\circ};\]

\[AE\bot ABD.\]

\[Найти:\]

\[\angle CAE.\]

\[Решение.\]

\[1)\ Отметим\ точки\ B,\ D\ и\ C\ на\ \]

\[лучах:\ \]

\[AB = AD = DB = a.\]

\[Из\ точки\ \text{C\ }опустим\ \]

\[перпендикуляры:\ \ \]

\[CB\bot AB;\]

\[CD\bot AD.\]

\[2)\ В\ \mathrm{\Delta}ABC - прямоугольном\text{\ \ }\]

\[\angle BCA = 30{^\circ}:\]

\[гипотенуза\ AC = 2a;\]

\[BC = \sqrt{AC^{2} - AB^{2}} =\]

\[= \sqrt{4a^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}.\]

\[3)\ В\ \mathrm{\Delta}ACD - прямоугольном:\]

\[DC = 2a \bullet \sin{45{^\circ}} = a\sqrt{2}.\]

\[4)\ По\ теореме\ синусов\ в\ \mathrm{\Delta}ABD:\]

\[DB^{2} =\]

\[= a^{2} + 2a^{2} - 2a \bullet a\sqrt{2} \bullet \cos{45{^\circ}} =\]

\[= a^{2}.\]

\[5)\ В\ \mathrm{\Delta}BDC:\ \ \]

\[CB^{2} = BD^{2} + DC^{2}\]

\[\ 3a^{2} = \ a^{2} + 2a^{2}.\]

\[Значит:\ \]

\[\mathrm{\Delta}BDC - прямоугольный;\]

\[CD\bot BD.\]

\[6)\ CD\bot BD\ \ и\ \ CD\bot AD:\]

\[CD\bot ABD;\]

\[AE\bot ABD.\]

\[Отсюда:\]

\[DC \parallel AE.\]

\[7)\ Если\ точки\ \text{C\ }и\ E\ с\ одной\ \]

\[стороны\ от\ ABD:\]

\[\angle CAE = 90{^\circ} - 45{^\circ} = 45{^\circ}.\]

\[Если\ точки\ C\ и\ \text{E\ }с\ разных\ \]

\[сторон\ от\ ABD:\]

\[\angle CAE = 90{^\circ} + 45{^\circ} = 135{^\circ}.\]

\[\mathbf{Ответ}\mathbf{:\ \ }45{^\circ}\ \ или\ \ 135{^\circ}.\]