Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 773

\[\boxed{\mathbf{773.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[\alpha,\beta - плоскости;\]

\[AB - прямая;\]

\[\alpha \cap \beta = MN.\]

\[Доказать:\]

\[\angle ABA_{1} = \angle BAB_{1}.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ MN - ребро\ двугранного\ \]

\[угла\ между\ плоскостями\ \alpha\ и\ \beta.\]

\[2)\ Построим\ точки:\]

\[\ A_{1} - проекция\ A\ на\ плоскость\ \]

\[\alpha;\]

\[B_{1} - проекция\ \text{B\ }на\ плоскость\ \]

\[\beta.\]

\[AA_{1}\bot\alpha\ \ и\ \ BB_{1}\bot\beta:\]

\[\text{\ A}A_{1}\bot MN\ и\ BB_{1}\bot MN\ \]

\[(так\ как\ MN \in \alpha\ и\ MN \in \beta).\]

\[3)\ Из\ точек\ A_{1}\ и\ B_{1}\ опустим\ \]

\[перпендикуляры\ на\ прямую\ \]

\[\text{MN}:\ A_{1}A_{2}\bot MN\ \ и\ \ B_{1}B_{2}\bot MN.\]

\[Тогда:\ \]

\[\angle AA_{2}A_{1} = \angle BB_{2}B_{1}\ (как\ \]

\[линейные\ углы\ двугранного\ \]

\[угла\ между\ плоскостями).\]

\[4)\ \angle ABA_{1} = \omega\ \ и\ \ \angle BAB_{1} =\]

\[= \psi - \ как\ углы\ между\ AB\ и\ \]

\[гранями:\]

\[AA_{2} = BB_{2} \rightarrow \mathrm{\Delta}AA_{1}A_{2} =\]

\[= \mathrm{\Delta}BB_{1}B_{2};\]

\[AA_{1} = BB_{1} \rightarrow \mathrm{\Delta}AA_{1}B = \mathrm{\Delta}AB_{1}\text{A.}\]

\[Значит:\]

\[\omega = \psi \rightarrow \angle ABA_{1} = \angle BAB_{1}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]