Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 74

\[\boxed{\mathbf{74.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Построение.\]

\[1)\ Проведем\ медианы\ в\ грани\ \]

\[BCD;\]

\[O - точка\ их\ пересечения.\]

\[2)\ Плоскость\ сечения\ с\ гранью\ \]

\[\text{ADC\ }имеет\ общую\ точку\ N:\]

\[обе\ плоскости\ пересекаются\ \]

\[по\ прямой,\ проходящей\ через\]

\[точку\ N.\]

\[\textbf{а)}\ Плоскость\ сечения\ и\ \]

\[плоскость\ \text{ABC\ }пересекаются\ \]

\[плоскостью\ ADC:\]

\[NP \parallel AC;\ \ PM \parallel AB;\ \ MN \parallel BC.\]

\[⊿MNP\sim ⊿BAC - по\ двум\ углам:\]

\[\angle MPN = \angle BAC;\]

\[\angle MNP = \angle BCA.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{б)}\ ⊿NDO\sim ⊿CDE:\]

\[MO = \frac{2}{3}BE;\]

\[NO = \frac{2}{3}EC;\]

\[\frac{\text{MO}}{\text{BE}} = \frac{\text{DO}}{\text{DE}}.\]

\[Отсюда:\]

\[\frac{\text{MO}}{\text{BE}} = \frac{2}{3};\]

\[MN = MO + ON = \frac{2}{3}\text{BC.}\]

\[⊿MNP\sim ABC:\]

\[\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{S_{\text{MNP}}}{S_{\text{ABC}}} = \frac{MN^{2}}{BC^{2}}\]

\[\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\frac{4}{9}BC^{2}}{BC^{2}} = \frac{4}{9}.\]

\[Ответ:\ \frac{4}{9}.\]